MIT 线性代数导论第六讲：列空间以及零空间

灰太狼 2022-05-09 07:20 270阅读 0赞

本讲的主要内容：

*  回顾向量空间以及子空间的知识点
 *  使用线性方程组的思想看待列空间问题
 *  零空间的概念

#### 向量空间以及子空间 ####

这里主要是对之前的知识的一点回顾，有一点新问题是对于子空间，交以及并是否仍然是子空间？  
这里以三维空间  R 3 R^\{3\} R3 为例：  
取  P P P 为三维空间中过原点的一个平面（plane） ，取  L L L 为三维空间中过原点的一条直线，则根据向量空间以及子空间的定义，可以得知  P P P 和  L L L 都是三维空间的子空间，那么有：  
 P ⋃ L P\\bigcup L P⋃L 非子空间，而  P ⋂ L P\\bigcap L P⋂L 是子空间，很好理解，如果在  P P P 和  L L L 中各取一个向量，则它们的向量和不一定在并集之内，而交集则是两个向量的肯定共同属于  P P P 和  L L L。

#### 矩阵的列空间（Column Space） ####

在之前的一讲中我们知道将矩阵  A A A 看作是多个列向量，则这些列向量的所有线性组合就组成了列空间（column space 简记为  C ( A ) C(A) C(A)），这里老师使用的例子：  
 A = ( 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ) A = \\begin\{pmatrix\} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 4 & 1 & 5 \\end\{pmatrix\} A=⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞  
将三个列向量的所有线性组合得出向量放在一起，就得到了列空间（这里的  C ( A ) C(A) C(A) 是四维空间的一个子空间），现在有一个问题： C ( A ) C(A) C(A) 是否能构成整个四维空间？  
如果我们使用方程的思想来看，也就转化为这个问题：  
 A X = b AX=b AX=b 是否总是有解？即：  
 ( 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = b \\begin\{pmatrix\} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 4 & 1 & 5 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\_\{1\}\\\\ x\_\{2\}\\\\ x\_\{3\} \\end\{pmatrix\} = b ⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=b  
直观一点来想的话：是不能的，我们有三个四维向量（实际上是两个），只能构成一个三维平面，现在却要表示四维空间的所有向量，一般是无解的。  
知道  C ( A ) C(A) C(A) 无法覆盖整个四维空间之后，关于上面的方程组还有一个结论：如果上面的方程有解，显然有一个条件： b ⊂ C ( A ) b\\subset C(A) b⊂C(A)。

#### 零空间（Null Space） ####

接下来是一个新的概念：零空间（null space 简记为： N ( A ) N(A) N(A)），其实是上面的方程组的一种情况，也就是考虑  A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解，**方程的所有解向量构成了零空间**，可以看出零空间是三维空间  R 3 R^\{3\} R3 的一个子空间，而列空间，则是四维空间  R 4 R^\{4\} R4 的一个子空间，这个地方注意一下，比如之前的例子：

( 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 0 0 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 4 & 1 & 5 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\_\{1\}\\\\ x\_\{2\}\\\\ x\_\{3\} \\end\{pmatrix\} = \\begin\{pmatrix\} 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0 \\end\{pmatrix\} ⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎜⎜⎛0000⎠⎟⎟⎞

因为第三列其实是前两列的组合，我们可以很简单的求解这个方程：  
 x = c ( 1 1 − 1 ) x = c\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 1\\\\ -1\\\\ \\end\{pmatrix\} x=c⎝⎛11−1⎠⎞  
结果是四维空间的一条直线。  
接下来，我们来验证一下  A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解总是可以构成子空间，也就是检验解满足向量的加法以及数乘，其实非常简单：  
设任意  v v v， w w w 都是方程的解，则加法：  
 \{ A v = 0 A w = 0 ⇒ A ( v + w ) = 0 \\left\\\{\\begin\{matrix\} Av=0\\\\ Aw=0 \\end\{matrix\}\\right. \\Rightarrow A(v+w) = 0 \{ Av=0Aw=0⇒A(v\+w)=0  
数乘就更明显了。  
这一讲的内容比较简单，主要是为下面的内容介绍几个概念。

以上~