小朋友学经典算法（14）：回溯法和八皇后问题

今天药忘吃喽~ 2022-05-08 07:36 204阅读 0赞

# 一、回溯法 #

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

# 二、八皇后问题 #

## （一）问题描述 ##

![1.png][]

在国际象棋中，皇后是最强大的一枚棋子，可以吃掉与其在同一行、列和斜线的敌方棋子。比中国象棋里的车强几百倍，比她那没用的老公更是强的飞起（国王只能前后左右斜线走一格）。  
八皇后问题是这样一个问题：将八个皇后摆在一张8\*8的国际象棋棋盘上，使每个皇后都无法吃掉别的皇后，一共有多少种摆法？  
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

## （二）分析过程 ##

为了使问题简化，假定国王与四位皇后离了婚，那么只剩下四位皇后了。八皇后问题就变成了四皇后问题。

![2.png][]

在第一行放1号皇后。第一行的四个格子都可以放。按枚举的习惯，先放在第一个格子。如下图所示。黑色的格子不能放其他的皇后。

![3.png][]

在第二行放2号皇后，只能放在第三个或第四个格子。按枚举的习惯，先放在第三个格子，如下图所示。

![4.png][]

不好了，前两位皇后沆瀣一气，已经把第三行全部锁死了，第三位皇后无论放哪里都难逃被吃掉的厄运。于是在第一个皇后位于1号，第二个皇后位于3号的情况下问题无解。我们只能返回上一步来，给2号皇后换个位置，挪到第四个格子上。

![5.png][]

显然，第三个皇后只有一个位置可选。当第三个皇后占据第三行蓝色空位时，第四行皇后无路可走，于是发生错误，返回上层挪动3号皇后，而3号也别无可去，继续返回上层挪动2号皇后，2号已然无路可去，继续返回上层挪动1号皇后。于是1号皇后改变位置如下，继续搜索。

![6.png][]

分析到这里，想必小朋友们对“回溯法”已经有了基本概念。下面要将算法实现出来。

## （三）代码实现 ##

\#\#\#1 queen()函数

void queen(int row)
    {
        if(row == n)
        {
            // 从0到n-1行，全部都已经放上皇后了，所以答案+1
            total++;
    
            // 打印出n个皇后具体放在0~n-1行的第几列
            for(int i = 0; i<n; i++)
            {
                cout << c[i] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
        else
        {
            for(int col = 0; col != n; col++)
            {
                c[row] = col;
                if(check(row))
                {
                    queen(row + 1);
                }
            }
        }
    }

算法是逐行安排皇后的，其参数row为现在正执行到第几行。n是皇后数，在八皇后问题里当然就是8啦。  
if(row == n)这句代码好理解，如果程序执行了row == n，说明从0到n-1的位置都放上了皇后，那自然是找到了一种解法，于是八皇后问题解法数加1。  
否则进入else语句。遍历所有列col，将当前col存储在数组c里，然后使用check()检查row行col列能不能摆皇后，若能摆皇后，则递归调用queen去安排下一列摆皇后的问题。

还不太清楚？再慢点来，刚开始的时候row = 0，意思是要对第0行摆皇后了。  
If判断失败，进入else，进入for循环，col初始化为0  
显然，0行0列的位置一定可以摆皇后的，因为这是第一个皇后啊，后宫空荡她想怎么折腾就怎么折腾，于是check(0)测试成功，递归调用queen(1)安排第1行的皇后问题。

皇后放在第1行时即row=1，进来if依然测试失败，进入for循环，col初始化为0。1行0列显然是不能摆皇后的，因为0行0列已经有一个圣母皇太后在那搁着了，于是check()测试失败，循环什么也不做空转一圈，col变为1。1行1列依然check()测试失败，一直到1行2列，发现可以摆皇后，于是继续递归queen(2)去安排第二个皇后位置。

如果在某种情况下问题无解呢？例如前面在4皇后问题中，0行0列摆皇后是无解的。假设前面递归到queen(2)时候，发现第2行没有地方可以摆皇后，那怎么办呢？要注意queen(2)的调用是在queen(1)的for循环框架内的，queen(2)若无解，则自然而然queen(1)的for循环col自加1，即将第1行的皇后从1行2列改为1行3列的位置，检查可否放皇后后继续安排下一行的皇后。如此递归，当queen(0)的col自加到n-1，说明第一列的皇后已经遍历了从0行1列到0行n-1列，此时for循环结束，程序退出。

在主函数中调用queen(0)，得到正确结果，8皇后问题一共有92种解法。

\#\#\#2 check函数

bool check(int curRow)
    {
        //放当前行的皇后时，只需要检查跟前面那些行的皇后有没有冲突
        //不需要考虑后几行，因为后几行的皇后还没放上去呢
        for(int preRow = 0; preRow != curRow; preRow++)
        {
            if(c[curRow] == c[preRow] ||
               curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow] ||
               curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow])
            {
                return false;
            }
        }
    
        return true;
    }

这里curRow表示当前的行。假定当前的行为第3行（从0开始计数）。那么for循环里，preRow = 0表示第0行，preRow = 1表示第1行，preRow = 2表示第2行。  
c\[curRow\]表示第curRow行所在的列。比如c\[3\] = 2表示第三行第2列。c\[0\] = 2表示第0行第2列等。

\#\#\#\#(1) c\[curRow\] == c\[preRow\]  
表示第row行和第preRow行的列一样，这样两个皇后就冲突了，所以返回false。

\#\#\#\#(2) curRow - c\[curRow\] == preRow - c\[preRow\]  
表示curRow行c\[curRow\]列与preRow 行c\[preRow\]列，在同一条斜率为负的斜线上。这样两个皇后也冲突了。以下图为例

![7.png][]

\#\#\#\#\#例1  
A格子，preRow = 0, c\[preRow\] = c\[0\] = 0，即第0行第0列。C格子，curRow = 2, c\[curRow\] = c\[2\] = 2, 即第2行第2列。curRow - c\[curRow\] == preRow - c\[preRow\]，表示这两个格子在一条斜线上，返回false。  
\#\#\#\#\#例2  
B格子，preRow = 1, c\[preRow\] = c\[1\] = 0，即第1行第0列。D格子，curRow= 3, c\[curRow\] = c\[3\] = 2, 即第3行第2列。curRow - c\[curRow\] == preRow - c\[preRow\]，表示这两个格子在一条斜线上，返回false。

\#\#\#\#\#(3) curRow + c\[curRow\] == preRow + c\[preRow\]  
表示curRow行c\[curRow\]列与preRow行c\[preRow\]列，在同一条斜率为正的斜线上。这样两个皇后也冲突了。如下图所示：

![8.png][]

\#\#\#\#例3  
A格子，preRow = 0, c\[preRow\] = c\[0\] = 1，即第0行第1列。B格子，curRow = 1, c\[curRow\] = c\[1\] = 0, 即第1行第0列。curRow + c\[curRow\] == preRow + c\[preRow\]，表示这两个格子在一条斜线上，返回false。  
\#\#\#\#例4  
C格子，preRow = 0, c\[preRow\] = c\[0\] = 3，即第0行第3列。D格子，curRow= 3, c\[curRow\] = c\[3\] = 0, 即第3行第0列。curRow+ c\[curRow\] == preRow + c\[preRow\]，表示这两个格子在一条斜线上，返回false。

注意：上面表示两种斜线的情况，一种用的是“-”，另一种用的是“+”，其实是因为这两种线的斜率分别为-1和1的缘故。

\#\#\#3 完整代码

#include<iostream>
    #include<math.h>
    using namespace std;
    
    int n = 8;
    int total = 0;
    int *c = new int(n); //也可以写为int c[n];表示皇后放在第几列
    
    bool check(int curRow)
    {
        //放当前行的皇后时，只需要检查跟前面那些行的皇后有没有冲突
        //不需要考虑后几行，因为后几行的皇后还没放上去呢
        for(int preRow = 0; preRow != curRow; preRow++)
        {
            if(c[curRow] == c[preRow] ||
               curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow] ||
               curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow])
            {
                return false;
            }
        }
    
        return true;
    }
    
    void queen(int row)
    {
        if(row == n)
        {
            // 从0到n-1行，全部都已经放上皇后了，所以答案+1
            total++;
    
            // 打印出n个皇后具体放在0~n-1行的第几列
            for(int i = 0; i<n; i++)
            {
                cout << c[i] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
        else
        {
            for(int col = 0; col != n; col++)
            {
                c[row] = col;
                if(check(row))
                {
                    queen(row + 1);
                }
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        queen(0);
        cout << total << endl;
        
        return 0;
    }

运行结果：

……
    6 2 0 5 7 4 1 3
    6 2 7 1 4 0 5 3
    6 3 1 4 7 0 2 5
    6 3 1 7 5 0 2 4
    6 4 2 0 5 7 1 3
    7 1 3 0 6 4 2 5
    7 1 4 2 0 6 3 5
    7 2 0 5 1 4 6 3
    7 3 0 2 5 1 6 4
    92

# 三、回溯法和枚举法的区别 #

回溯法与穷举法有某些联系，它们都是基于试探的。  
穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。  
而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

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