二分图基础学习

柔情只为你懂 2022-04-17 20:59 192阅读 0赞

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二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集（A,B），并且图中每条边（i,j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G是一个二分图。  
定义

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。  
辨析

区分二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集  
![20181107145224686.png][]

上图中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。

![20181107145216983.png][]

上图中U和V和W构造的点集所形成的循环圈为奇数，所以不是二分图。

### **最大匹配** ###

**匹配**：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

fig2

![20181107145241728.png][]

fig3

![20181107145251694.png][]

fig4

![20181107145300755.png][]

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完全匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完全匹配。图 4 是一个完全匹配。显然，完全匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完全匹配。

算法  
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

fig5  
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增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

fig6

![20181107145341432.png][]

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。  
完全二分图

完全二分图是一种特殊的二分图，可以把图中的顶点分成两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连。

性质

平面图不能含有子图K3,3；外平面图不能含有子图K3,2（这些是必要条件而不是充分条件）。 完全二部图Km,n的顶点覆盖数为min\{m,n\}，边覆盖数为max\{m,n\}。 完全二分图Km,n具有大小为max\{m,n\}的最大独立集合。 完全二分图Km,n具有大小为min\{m,n\}的最大匹配。 完全二分图Kn,n具有正则的n-边染色。 完全二分图Km,n有(m^(n-1)) \* (n^(m-1))个不同的生成树。  
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