数据结构——树——平衡二叉树

电玩女神 2022-04-16 03:22 300阅读 0赞

平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。 最小二叉平衡树的节点总数的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci(斐波那契)数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。  
![在这里插入图片描述][20181116104152395.PNG]![在这里插入图片描述][20181116104246250.PNG]

**给定结点数为 n的AVL树的 最大高度为O(log2n) ！**

AVL树定义：

typedef struct AVLNode *Position;
    typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
    struct AVLNode{
        
        ElementType Data; /* 结点数据 */
        AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
        AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
        int Height;       /* 树高 */
    };

## 平衡二叉树的调整 ##

**右单旋：**  
![在这里插入图片描述][20181116104453925.PNG]

AVLTree SingRightRotation ( AVLTree A )
    {
         /* 注意：A必须有一个右子结点B */
      /* 将A与B做右单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     
     
        AVLTree B = A->Right;
        A->Right = B->Left;
        B->Left = A;
        A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
        B->Height = Max( GetHeight(B->Right), A->Height ) + 1;
      
        return B;
    }

**左单旋：**  
![在这里插入图片描述][20181116104646271.PNG]

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
    {
         /* 注意：A必须有一个左子结点B */
      /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     
     
        AVLTree B = A->Left;
        A->Left = B->Right;
        B->Right = A;
        A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
        B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;
      
        return B;
    }

**左-右双旋 ：**  
![在这里插入图片描述][20181116105343529.png]

AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
    {
         /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
      /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
         
        /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
        A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
        /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
        return SingleLeftRotation(A);
    }

**右-左双旋 ：**  
![在这里插入图片描述][201811161057342.png]

AVLTree DoubleRightLeftRotation ( AVLTree A )
    {
         /* 注意：A必须有一个右子结点B，且B必须有一个左子结点C */
      /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
         
        /* 将B与C做左单旋，C被返回 */
        A->Right = SingleLeftRotation(A->Right);
        /* 将A与C做右单旋，C被返回 */
        return SingleRightRotation(A);
    }

## 平衡树的插入操作： ##

AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
    {
         /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
        if ( !T ) {
         /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
            T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
            T->Data = X;
            T->Height = 0;
            T->Left = T->Right = NULL;
        } /* if (插入空树) 结束 */
     
        else if ( X < T->Data ) {
        
            /* 插入T的左子树 */
            T->Left = Insert( T->Left, X);
            /* 如果需要左旋 */
            if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
                if ( X < T->Left->Data ) 
                   T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
                else 
                   T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
        } /* else if (插入左子树) 结束 */
         
        else if ( X > T->Data ) {
        
            /* 插入T的右子树 */
            T->Right = Insert( T->Right, X );
            /* 如果需要右旋 */
            if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
                if ( X > T->Right->Data ) 
                   T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
                else 
                   T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
        } /* else if (插入右子树) 结束 */
     
        /* else X == T->Data，无须插入 */
     
        /* 别忘了更新树高 */
        T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;
        return T;
    }

[练习：判断二叉树是否是平衡二叉树][Link 1]

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[20181116104246250.PNG]: /images/20220416/6fc92e46764b4c93855a4233751a0801.png
[20181116104453925.PNG]: /images/20220416/1a02a4b63eaa4075865a3a5e078569a6.png
[20181116104646271.PNG]: /images/20220416/eb1a29c2d2294318ab5e23c0e71b44f8.png
[20181116105343529.png]: /images/20220416/ddd4654e389c40318efab23e069fcf94.png
[201811161057342.png]: /images/20220416/5082ca0150d345dc8b69a087b9e9eae0.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_42623428/article/details/83792653