数据结构-数组与压缩矩阵

偏执的太偏执、 2022-04-15 02:39 657阅读 0赞

**数组的定义**

数组是由n(n>1)个具有相同数据类型的数据元素a1...an组成的有序序列，且该序列必须存储在一块地址连续的存储单元中。

1.数组中的数组元素就有相同的数据类型

2.数组是一种随机存取结构，给定一组下标就可以访问与其对应的数据元素。

3.数组中的数据元素个数是固定的。

行向量的一位数组形式

![20181120151858727.png][]

列向量的一位数组形式

![20181120151945704.png][]

**数组的两种顺序存储方式**

**1.行优先顺序（Row Major Order）:**将数组元素按行排列，第i+1个行向量紧接着第i个行向量后面。对于二维数组，按行优先顺序存储的线性序列为：

![20181120151959578.png][]

c语言是按行优先顺序存储的。

**2.列优先顺序（Column Major Order）**：将数组元素按列向量排列，第j+1个列向量紧接在第j个列向量之后，对二维数组，按列优先顺序存储的线性序列位：

![20181120152013774.png][]

设有二维数组A=(aij)mxn ，若每个元素占用的存储单元数为 **/**（个），LOC\[a11\]表示元素a11的首地址(也可以用a00表示首地址)，即数组的首地址。

**1.以“行优先顺序”存储**

(1)第1行中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152034328.png][]

**注：如果下标从0开始：LOC\[a1j\] = LOC\[a11\]+j x /**

(2)第2行中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152044138.png][]

**注：如果下标从0开始：LOC\[a2j\] = LOC\[a11\]+(1xn)x/ + jx/**

(3)第m行中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152053390.png][]

**注：如果下标从0开始：LOC\[amj\] = LOC\[a11\]+(mxn)x/ + jx/**

三维数组中任一元素aijk的（首）地址是：

![20181120152106304.png][]

多维数组推而广之。

2.以“列优先顺序”存储

(1)第1列中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152441933.png][]

(2)第2列中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152449437.png][]

(3)第n列中的每个元素对应的（首）地址是：

![20181120152457320.png][]

**特殊矩阵的压缩存储**

特殊矩阵：是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵

对于高阶矩阵，若其中非零元素呈现某种规律分布或者矩阵中有大量的零元素，若仍然用常规方法存储，可能存储重复的非零元素或零元素，将造成存储空间的大量浪费。对这类矩阵进行压缩存储。

1.多个相同得非零元素只分配一个存储空间

2.零元素不分配空间

比如：一个nxn的二阶矩阵压缩成一个n的一维空间，大大减少了存储空间，即**压缩存储**。

**1.对称矩阵**

若一个n阶方阵A=(aij)nxn中的元素满足aij=aji ，i>=1，j<=n 且i≠j，则称A为对称矩阵

即：关于对角线对称

![20181120152517413.png][]

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，因此，让每一对对称元素aij 和 aji(i≠j)分配一个存储空间，则n^2个元素压缩存储到

**n(n+1) /2** 个存储空间（即**只存储下三角的元素，包含对角线即1+2+3+...+n=n(n+1) /2**），能节约近一半的存储空间。

假设按“行优先顺序”存储下三角形（包括对角线）元素；设用一维数组（向量）sa\[0....n(n+1)/2\]存储n阶对称矩阵。为了便于访问，**必须找出矩阵A中的元素下标值（i，j）和向量sa\[k\]的下标值k之间的对应关系。**

![20181120152546562.png][]

若i>=j：aij 在下三角形中，直接保存在sa中。aij之前的i-1行共有元素个数:1+2+....+(i-1) = i(i-1)/2，在第i行上，aij之前恰有j-1个元素，因此，元素aij保存在向量sa中时的下标值k之间的对应关系是:

k=i x (i-1) /2 + j-1      (i>=j)

若i<j： 则aij是在上三角矩阵中。因为aij=aji，在向量sa中保存的是aji，即:

k=j x (j-1) /2 + i-1     (i<j)

所以，对称矩阵元素aij保存在向量sa中时的下标值k与（i,j）之间的对应关系是：

![20181120152606866.png][]

**注意：此处i，j的下标均是从1开始的**

**如果下标从0开始则关系式：**

![20181120152616372.png][]

**2.三角矩阵**

(1)以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。

(2)上三角矩阵的下三角（不包括主对角线）中的元素均为常数c（一般为0），下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为常数。

![20181120152630731.png][]

三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余元素正好有n(n+1) /2个，因此三角矩阵可压缩存储到向量sa\[0...n(n+1) /2\]中（一位数组），其中c存放在向量的最后1个分量重。

**上三角矩阵**元素aij保存在向量sa中时的下标**k**与**（i，j）**之间的对应关系是：

![20181120152640282.png][]

**下三角矩阵**元素aij保存在向量sa中时的下标值**k**与**（i，j）**之间的对应关系是：

![2018112015264840.png][]

**3.对角矩阵**

矩阵中，除了主对角线和主对角线上或下方若干条对角线上的元素以外，其余元素皆为零。即所有的非零元素集中在以对角线为中心的带状区域中。

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特点：以对角线为中心，第一行和最后一行都只有2个元素，其余每行都有三个元素，所以一个n行的对角矩阵中总数=3(n-2)+4 = **3n-2**

** **对角矩阵可按行优先顺序或对角线顺序，将其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系，仍然以三对角矩阵为例讨论：当i=1，j=1、2， 当i=n，j=n-1、n，当1<i<n-1，j=i-1、i、i+1，其余元素都为0；

对这种矩阵，当以按“行优先顺序”存储时，第1行和第n行是2个非零元素，其余每行的非零元素都是3个，则需存储的元素个数为3n-2个。

![20181120152716589.png][]

数组sa（sa从1开始）中的元素sa\[k\]与三对角矩阵中的元素aij (i，j从1开始)存在一一对应关系，在aij之前有i-1行，共有3x(i-1)-1个非零元素，在第i行，有j-i+1个非零元素（因为j-1=-1、0、1，所以j-i+1=0、1、2，即按这种位置顺序存储即可），这样，非零元素aij的地址位：

![20181120152727486.png][]

上例中，a34对应着sa\[8\]，k=2xi+j-2=2x3+4-2=8

称**sa\[0....3n-2\]是n阶三对角矩阵A的压缩存储**。

**稀疏矩阵**

稀疏矩阵（Sparse Matrix）：设矩阵A是一个nxm的矩阵中有s个非零元素，设 δ = s /(nxm)，称矩阵δ为稀疏因子，如果某一矩阵的稀疏因子δ满足δ<=0.05时称为稀疏矩阵。

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**稀疏矩阵的压缩存储**

对于稀疏矩阵，采用压缩存储方法时，只存储非0元素。须存储非0元素的**行下标值、列下标值、元素值**。

一个**三元组（i，j，aij）**唯一确定稀疏矩阵的一个非零元素。

**1.三元组顺序表**

若以行序为主序，稀疏矩阵中所有非0元素的三元组，就可以构成该稀疏矩阵的一个三元组顺序表。

相应的数据结构定义如下：

(1)三元组结点定义

**元素节点**

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(2)三元组顺序表定义

**信息总览结构**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3p3eDE5OTIxMjE1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

**2.十字链表**

对于稀疏矩阵，当非0元素的个数和位置在操作过程中变化较大时，采用链式存储结构表示比三元组的线性表更方便，矩阵中非0元素的结点所含的域有：行、列、值、行指针（指向同一行的下一个非0元）、列指针（指向同一列的下一个非0元）。其次，十字交叉链表还有一个头节点，结点结构如图所示。

![20181120152831259.png][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3p3eDE5OTIxMjE1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

结构定义

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3p3eDE5OTIxMjE1_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

由定义知，稀疏矩阵中同一行的非0元素由right指针域链接成一个行链表，由down指针域链接成一个列链表。则每个非0元素既是某个行链表中的一个结点，同时又是某个列链表中的一个结点，所有非0元素构成一个十字交叉的链表。称为十字链表。

此外，还可用两个一维数组分别存储行链表的头指针和列链表的头指针。

优势：查找方便，缺点：复杂

**广义表**

广义表是线性表的推广和扩充，在人工智能领域中应用十分广泛。把线性表定义为n(n>=0)个元素a1,a2,....an的又穷序列，该序列中的所有元素具有相同得数据类型且只能是原子项。

所谓原子项可以是一个数或一个结构，是指结构上不可再分的。**若放松对元素的这种限制，或许它们有其自身结构，就产生了广义表的概念。**

**广义表（Lists，又称为列表）：**是由n(n>=0)个元素组成的有穷序列：LS=(a1，a2，....an)；其中**ai ****或者是原子项**，**或者是一个广义表**。LS是广义表的名字，n为它的长度。若ai 是广义表，则称为LS的子表。习惯上：原子用小写字母，子表用大写字母。

**定义非空广义表LS：**

(1).**a1(表中第一个元素)称为表头**；

(2).**其余元素组成的子表称为表尾**；（a2，a3，a4....an）

(3).广义表中所包含的元素（包括原子和子表）的个数称为表的长度

(4).广义表中**括号的最大层数称**为表深(度)

(5).两个基本操作GetHead() ：取表头元素；GetTail()：取**表尾**

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