关系数据库理论之范式

喜欢ヅ旅行 2022-04-10 13:49 387阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  前言
 *  这四大范式的关系
 *  函数依赖
 *   *  概念
     *  分类
     *   *  完全函数依赖
         *  部分函数依赖
         *  传递函数依赖
 *  主属性与非主属性
 *  范式
 *   *  第一范式
     *  第二范式
     *  第三范式
     *  BC范式

# 前言 #

范式应该算是关系数据库中的难点了，难就难在对关系的分解上。最近在学习关系数据库理论，就想着可以利用文章将思路捋捋。本文主要论述的是范式中有关函数依赖的部分，包括**第一范式(1NF)、第二范式(2NF)、第三范式(3NF)以及BC范式(BCNF)**。至于基于多值依赖的第四范式暂时不做讨论。本文中的例子举自《*数据库原理及应用技术教程*》(*清华大学出版社*)。

> 这里小小的插一句，如果你对关系、元组、码等这些专用名词(一般在开发中至少我不会这么说)看不惯的话，就比如我，可以参考如下的同义替换。
> 
>  *  关系——二维表，也就是我们常说的数据库中的表
>  *  元组——表中的记录
>  *  码——如果是主码，就是主键的意思；若是外码，就是外键的意思
>  *  关系模式——表的定义，也就是我们常写的create table…语句

# 这四大范式的关系 #

在正式论述之前，还是有必要了解一下这四大范式之间的关系：随着范式等级的增高，其限制也就越多，对数据库中的数据冗余，插入异常、删除异常等的解决效果也就越好。1NF、2NF、3NF、BCNF的关系可以表示为下图。  
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# 函数依赖 #

## 概念 ##

函数依赖是这四大范式的基础概念，只有了解了什么是函数依赖，才能明白这四大范式具体是在做什么。  
函数依赖中的**函数**一词，类似我们在数学中常提及的单值函数，例如  
 y = a x + b y = ax+b y=ax\+b  
其中，x叫自变量，y叫因变量。对于确定的自变量x，都有**唯一**的因变量y于其对应。  
而函数依赖与其也相似，比如考虑以下关系：

> SDC(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN,CNO,GRADE)  
> SDC：关系名  
> SNO：学号  
> SNAME：姓名  
> SAGE：年龄  
> DEPT：系别  
> MN：系主任姓名  
> CNO：课程号  
> GRADE：成绩

我们知道，在学校中，学号是唯一的，一个学生只能在一个系中学习，所以如果SNO确定，则SNAME、SAGE、DEPT也随之唯一确定。我们就可以说(SNAME,SAGE,DEPT)函数依赖于SNO，记为  
 S N O → S N A M E SNO \\rightarrow SNAME SNO→SNAME （SNAME函数依赖于SNO。从后往前看，下同）  
 S N O → S A G E SNO \\rightarrow SAGE SNO→SAGE  
 S N O → D E P T SNO \\rightarrow DEPT SNO→DEPT  
最后，我们给出函数依赖的定义

> 设关系模式*R(U,F)*，*U*是属性全集，*F*是*U*上的函数依赖集，*X*和*Y*是*U*的子集，如果对于*R(U)* 的任意一个可能关系*r*,对于*X*的每一个具体值，*Y*都有唯一的具体值与之对应，则称*X*函数决定*Y*，或*Y*函数依赖于*X*,记作 X → Y X \\rightarrow Y X→Y。

## 分类 ##

函数依赖分为：完全函数依赖、部分函数依赖、传递函数依赖

### 完全函数依赖 ###

直接来看个例子，还是上面的SDC关系，在这个关系中， S N O ↛ G R A D E SNO \\nrightarrow GRADE SNO↛GRADE，因为一个学生可以选修多门课程。 C N O ↛ G R A D E CNO \\nrightarrow GRADE CNO↛GRADE，因为一门课程会有多个成绩。但是它们的组合就可以决定成绩，即 ( S N O , C N O ) → G R A D E (SNO,CNO) \\rightarrow GRADE (SNO,CNO)→GRADE。因为学号确定了，课程号也确定了，这个学生的成绩也就唯一确定了。  
在 ( S N O , C N O ) → G R A D E (SNO,CNO) \\rightarrow GRADE (SNO,CNO)→GRADE这个函数依赖关系中，(SNO,CNO)的真子集，也就是SNO、CNO，都不能唯一确定GRADE的值，我们就把这样的函数依赖，称为完全函数依赖。记为 ( S N O , C N O ) → f G R A D E (SNO,CNO)\\rightarrow ^ fGRADE (SNO,CNO)→fGRADE。这里f就是full(满)的意思。  
最后来看定义

> 设关系模式*R(U)* , *U*是属性全集，*X*和*Y*是*U*的子集，如果 X → Y X \\rightarrow Y X→Y，并且对于*X*的任何一个真子集*X’*，都有 X ′ ↛ Y X&\#x27; \\nrightarrow Y X′↛Y，则称*Y*对*X*完全函数依赖。记作 X → f Y X \\rightarrow^f Y X→fY。

### 部分函数依赖 ###

还是上面的关系SDC。我们已经知道 S N O → D E P T SNO \\rightarrow DEPT SNO→DEPT，而我们也可以说 ( S N O , C N O ) → D E P T (SNO,CNO) \\rightarrow DEPT (SNO,CNO)→DEPT。此时，对于(SNO,CNO)的真子集SNO、CNO，有 S N O → D E P T SNO \\rightarrow DEPT SNO→DEPT、 C N O ↛ D E P T CNO \\nrightarrow DEPT CNO↛DEPT。此时，我们可以说DEPT部分函数依赖于(SNO,CNO)，记作 ( S N O , C N O ) → p D E P T (SNO,CNO) \\rightarrow^p DEPT (SNO,CNO)→pDEPT。这里p就是partial(部分的)意思。  
最后来看定义

> 设关系模式*R(U)* , *U*是属性全集，*X*和*Y*是*U*的子集，如果对*X*的某个真子集*X’*，**有** X ′ → Y X&\#x27; \\rightarrow Y X′→Y，则称Y对X部分函数依赖，记作 X → p Y X \\rightarrow^p Y X→pY

只有当决定因素是组合属性时，讨论部分函数依赖才有意义，当决定因素是单个属性时，**只能**是完全函数依赖。

### 传递函数依赖 ###

还是上面的关系SDC。 S N O → D E P T SNO \\rightarrow DEPT SNO→DEPT，因为一名学生只能在一个系中上课。且 D E P T → M N DEPT \\rightarrow MN DEPT→MN，因为一个系只能有一个系主任。所以在这里SNO与DEPT就是传递函数依赖的关系，记作 S N O → t M N SNO \\rightarrow^t MN SNO→tMN。这里t是transitive(可传递的)意思。  
最后是定义

> 设关系模式*R(U)* , *U*是属性全集，*X*、*Y*、*Z* 是*U*的子集，若 X → Y X \\rightarrow Y X→Y，但 Y ↛ X Y \\nrightarrow X Y↛X，而 Y → Z Y \\rightarrow Z Y→Z( Y ∉ X Y\\notin X Y∈/X， Z ∉ Y Z \\notin Y Z∈/Y)，则称*Z*对*X*传递函数依赖，记作 X → t Z X \\rightarrow^t Z X→tZ。

# 主属性与非主属性 #

在一个关系中，如果一个属性或者几个属性能够唯一标识一个元组，我们就把它称为候选码。在众多候选码中，我们选择其中的一个为主码。  
包含在任何一个**候选码**中的属性，称为**主属性**。不包含在任何**码**中的属性，称为**非主属性**。

> 注：下面范式中，在定义里出现的**码**，均指**候选码**或**主码**。若候选码只有一个，那么候选码=主码=码。

# 范式 #

## 第一范式 ##

> 如果关系模式*R*，其所有的属性均为简单的、不可再分的，则称*R*属于第一范式。

第一范式是对关系数据库**最起码**的要求。

例如我们在上面提及的SDC关系，它就满足第一范式

> 但是，在SDC关系中，存在着非主属性对码的部分函数依赖，比如  
>  ( S N O , C N O ) → p D E P T (SNO,CNO) \\rightarrow^p DEPT (SNO,CNO)→pDEPT  
> 这就会导致数据冗余等问题(对于系别信息来说需要存储多次，有多少个学生就要存储几次)，于是我们就需要第二范式。

## 第二范式 ##

> 在关系模式满足1NF的基础上，且每个**非主属性**都完全函数依赖于*R*的码，则称*R*属于第二范式

对于SDC关系，(SNO,CNO)的关系组合为这个关系的候选码，也是**主码**，因为它能唯一标识一个学生的记录。SNO、CNO为**主属性**，SNAME、SAGE、DEPT、MN、GRADE为**非主属性**。通过上面的论述，我们知道在这个关系中存在着部分函数依赖  
 ( S N O , C N O ) → p D E P T (SNO,CNO) \\rightarrow^p DEPT (SNO,CNO)→pDEPT  
其中，DEPT为非主属性，且它部分函数依赖于(SNO,CNO)，所以这个SDC关系就不满足第二范式的定义。  
究其原因，是因为在SDC(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN,CNO,GRADE)关系中，描述了不止一件事。它从大体上描述了两个个实体：学生的基本信息、学生的选课和成绩信息。  
为了消除部分函数依赖，我们尽量做到一个关系就描述一个实体。在SDC关系中，我们可以拆分为三个实体  
学生与系别关系：  
SD(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN)  
学生选课关系  
SC(SNO,CNO,GRADE)  
在SD关系中，SNO为主码，决定因素，也为主属性，SNAME,SAGE,DEPT,MN为非主属性。上面我们提过，如果决定因素为单属性，只能是完全函数依赖。所以SD关系满足第二范式的定义。  
在SC关系中，(SNO,CNO)为主属性，GRADE为非主属性。然而，(SNO,CNO)的真子集SNO、CNO都不能唯一确定GRADE的值，因为一个学生可以选修多门课程，而一门课程也可以由多个学生选修，它们之间是多对多的关系。根据完全函数依赖的定义，GRADE完全函数依赖于(SNO,CNO)。所以关系SC满足第二范式的定义。

> 不难看出，在关系SD中，非主属性MN与主属性SNO存在传递依赖，这也会导致一定的数据冗余，插入异常等问题，这时就要引入第三范式。  
> 在第二范式中，存在着以下两条结论：
> 
>  *  从1NF关系中消除非主属性对码的部分函数依赖，则可以得到2NF关系。
>  *  如果R的码为单属性，或R的全体属性均为主属性，则R属于2NF。

## 第三范式 ##

> 在满足第二范式的基础上，如果关系模式*R*的每个**非主属性**都不**传递依赖**于*R*的码，则称*R*属于第三范式。

在第二范式中，我们将SDC关系分解成了SD和SC两个关系，但是在关系SD中，SNO为**主码**，同时也为**主属性**，DEPT为**非主属性**，存在 S N O → D E P T SNO \\rightarrow DEPT SNO→DEPT，且 D E P T → M N DEPT \\rightarrow MN DEPT→MN，而 D E P T ↛ S N O DEPT \\nrightarrow SNO DEPT↛SNO故 S N O → t M N SNO \\rightarrow^t MN SNO→tMN。也就是说MN传递依赖与SNO，所以关系SD不满足第三范式的定义。  
究其原因，是因为在关系SD中，我们还分得不够细，在关系SD(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN)中，还描述了两个实体，即学生和系别。  
所以我们把它在进行分解：  
学生关系：  
S(SNO,SNAME,SAGE)  
系别关系：  
D(DEPT,MN)  
在S关系中，SAME，SAGE均与SNO不存在传递依赖。  
在D关系中，MN不与DEPT存在传递依赖。  
故S关系与D关系满足第三范式定义。

显然，在SC关系中GRADE不会传递依赖于(SNO,CNO)  
所以，SC满足第三范式定义。

> 一般来说，在进行关系分解时，分解到3NF就足够了。  
> 但是2NF、3NF都只限制了**非主属性**对码的依赖关系，而没有限制**主属性**之间对码的依赖关系，这依然可能存在着数据冗余等问题，所以要引入BC范式。

## BC范式 ##

> 如果关系模式*R*属于1NF，且所有的函数依赖 X → Y X \\rightarrow Y X→Y( Y ∉ X Y\\notin X Y∈/X)，决定因素X都包含了*R*的一个候选码，则称R属于BC范式。

说白了，BCNF是指无论是主属性还是非主属性，都不能传递或部分函数依赖与关系R的码。最明显的特征是决定因素或其子集都包含了候选码。

定义看着很晕，对吧，不怕，我们来看一个例子。

> 设关系模式  
> SNC(SNO,SNAME,CNO,GRADE)  
> SNO：学号  
> SNAME：学生姓名  
> CNO：课程号  
> GRADE：成绩

**假设这里不存在重名现象**。  
不难看出，要想唯一标识这个关系中的一个元组，只要确定SNO、CNO的值或者SNAME、CNO的值就可以了。因为不存在重名现象，一旦SNO确定，SNAME也随之确定，而一个学生可以选修多门课程，一门课程只有一个成绩，所以CNO也应该纳入范围。  
在这个关系中，有两个候选码(SNO,CNO)和(SNAME,CNO)  
在这个关系中，**主属性**为SNO、SNAME、CNO，**非主属性**为GRADE  
所以，函数依赖关系如下：  
 ( S N O , C N O ) → G R A D E (SNO,CNO) \\rightarrow GRADE (SNO,CNO)→GRADE  
 ( S N A M E , C N O ) → G R A D E (SNAME,CNO) \\rightarrow GRADE (SNAME,CNO)→GRADE  
非主属性GRADE，对(SNO,CNO)以及(SNAME,CNO)都为完全函数依赖，且不存在传递依赖，**所以SNC属于第三范式**。  
我们现在着重看主属性，由于SNO与SNAME是一对一的关系，所以存在着以下部分函数依赖  
 ( S N A M E , C N O ) → p S N O (SNAME,CNO) \\rightarrow^p SNO (SNAME,CNO)→pSNO  
 ( S N O , C N O ) → p S N A M E (SNO,CNO) \\rightarrow^p SNAME (SNO,CNO)→pSNAME  
也就是说，在一个关系的主属性中，存在这部分函数依赖，这就不满足BC范式的定义。

> BCNF的规范化是指把3NF关系模式通过投影分解转换成BCNF关系模式的集合  
> 注意：前提要是这个关系已经是3NF

在SNC关系中，我们描述了两个实体，这两个实体是学生关系和选课关系，我们把它们加以分解，就可以消除上面说的主属性之间的函数依赖。  
学生关系：  
S(SNO,SNAME)  
选课关系：  
SC(SNO,CNO,GRADE)  
在S关系中，SNO为主属性，且是单一的，不存在主属性之间的部分函数依赖。非主属性SNAME也与SNO不存在部分、传递函数依赖。  
在SC关系中，SNO、CNO为主属性，它们之间也不存在部分函数依赖。非主属性GRADE与(SNO,CNO)也不存在部分、传递函数依赖。  
所以，它们都满足BCNF。  
最后说一说BCNF的性质：

>  *  满足BCNF的关系减消除任何属性(包括主属性与非主属性)对码的部分函数依赖和传递函数依赖。也就是说，如果 R ∈ B C N F R\\in BCNF R∈BCNF，则*R*也是3NF。
>  *  如果 R ∈ 3 N F R\\in 3NF R∈3NF，则*R*不一定是BCNF。

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