【算法】欧几里德算法(辗转相除法)求最大公约数

浅浅的花香味﹌ 2022-04-10 07:16 206阅读 0赞

> 定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。

**gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)** (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)  
则有：**gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd(a%b, (b%(a%b))) = … … = gcd(c, 0) = c**

#### 证明： ####

> 我们首先约定：m = gcd(a,b) , n = gcd(b, q) , a = b\*p +q。  
> （这里的gcd含义跟上面一样，q的含义跟后面式子同）
> 
> 1.  =>m 是a,b的最大公约数，那么m整除a,b  
>     =>q = a - b\*p  
>     =>m也可以整除q  
>     =>m就是b和q的公约数  
>     =>n是b,q的最大公约数  
>     =>n <= m
> 2.  =>n 是q,b的最大公约数，那么n整除q,b  
>     =>a = b\*p + q  
>     =>n也可以整除a  
>     =>n就是b和a的公约数  
>     =>m是b,a的最大公约数  
>     =>m <= n

#### 思路分析： ####

Created with Raphaël 2.2.0输入a, br = mod(a, b) a = b b = rmod(a, b) = 0？输出ayesno

#### 代码实现： ####

#include<stdio.h>
        int Gcd(int M, int N)
        { 
            int Rem;
            while(N > 0)
            { 
                Rem = M % N;
                M = N;
                N = Rem;
            }
            return M;
        }
        int main(void)
        { 
            int a,b;
            scanf("%d %d",&a,&b);
            printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a, b);
            printf("%d\n",Gcd(a,b));
            return 0;
        }

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