js 中的 number 为何很怪异

雨点打透心脏的1/2处 2022-04-10 06:17 154阅读 0赞

# js 中的 number 为何很怪异 #

> 声明：需要读者对二进制有一定的了解

对于 JavaScript 开发者来说，或多或少都遇到过 `js` 在处理数字上的奇怪现象，比如：

> 0.1 + 0.2
    0.30000000000000004
    
    > 0.1 + 1 - 1
    0.10000000000000009
    
    > 0.1 * 0.2
    0.020000000000000004
    
    > Math.pow(2, 53)
    9007199254740992
    
    > Math.pow(2, 53) + 1
    9007199254740992
    
    > Math.pow(2, 53) + 3
    9007199254740996

如果想要弄明白为什么会出现这些奇怪现象，首先要弄清楚 *JavaScript 是怎样编码数字的*。

## 1. JavaScript 是怎样编码数字的 ##

JavaScript 中的数字，不管是整数、小数、分数，还是正数、负数，全部是浮点数，都是用 4 个字节（64 位）来存储的。

一个数字（如 `12`、`0.12`、`-999`）在内存中占用 4 个字节（64 位），存储方式如下：

1.  `0 - 51`：分数部分（52 位）
2.  `52 - 62`：指数部分（11 位）
3.  `63`：符号位（1 位：0 表示这个数是正数，1 表示这个数是负数）

符号位很好理解，用于指明是正数还是负数，且只有 1 位、两种情况（0 表示正数，1 表示负数）。

其他两部分是分数部分和指数部分，用于计算一个数的绝对值。

### 1.1 绝对值计算公式 ###

1: abs = 1.f * 2 ^ (e - 1023)             0 < e < 2047
    2: abs = 0.f * 2 ^ (e - 1022)             e = 0, f > 0
    3: abs = 0                                e = 0, f = 0
    4: abs = NaN                              e = 2047, f > 0
    5: abs = ∞ (infinity, 无穷大)              e = 2047, f = 0

说明：

*  这个公式是二进制的算法公式，结果用 `abs` 表示，分数部分用 `f` 表示，指数部分用 `e` 表示
 *  `2 ^ (e - 1023)` 表示 `2` 的 `e - 1023` 次方
 *  因为分数部分占 52 位，所以 `f` 的取值范围为 `00...00`（中间省略 48 个 0） 到 `11...11`（中间省略 48 个 1）
 *  因为指数部分占 11 位，所以 `e` 的取值范围为 `0`（`00000000000`） 到 `2047`（`11111111111`）

从上面的公式可以看出：

*  `1` 的存储方式：`1.00 * 2 ^ (1023 - 1023)`（`f = 0000..., e = 1023`，`...` 表示 48 个 0）
 *  `2` 的存储方式：`1.00 * 2 ^ (1024 - 1023)`（`f = 0000..., e = 1024`，`...` 表示 48 个 0）
 *  `9` 的存储方式：`1.01 * 2 ^ (1025 - 1023)`（`f = 0100..., e = 1025`，`...` 表示 48 个 0）
 *  `0.5` 的存储方式：`1.00 * 2 ^ (1022 - 1023)`（`f = 0000..., e = 1022`，`...` 表示 48 个 0）
 *  `0.625` 的存储方式：`1.01 * 2 ^ (1021 - 1023)`（`f = 0100..., e = 1021`，`...` 表示 48 个 0）

### 1.2 绝对值的取值范围与边界 ###

从上面的公式可以看出：

#### 1.2.1 `0 < e < 2047` ####

当 `0 < e < 2047` 时，取值范围为：`f = 0, e = 1` 到 `f = 11...11, e = 2046`（中间省略 48 个 1）

即：`Math.pow(2, -1022)` 到 `~= Math.pow(2, 1024) - 1`（`～=` 表示约等于）

这当中，`~= Math.pow(2, 1024) - 1` 就是 `Number.MAX_VALUE` 的值，`js` 所能表示的最大数值。

#### 1.2.2 `e = 0, f > 0` ####

当 `e = 0, f > 0` 时，取值范围为：`f = 00...01, e = 0`（中间省略 48 个 0） 到 `f = 11...11, e = 0`（中间省略 48 个 1）

即：`Math.pow(2, -1074)` 到 `~= Math.pow(2, -1022)`（`～=` 表示约等于）

这当中，`Math.pow(2, -1074)` 就是 `Number.MIN_VALUE` 的值，`js` 所能表示的最小数值（绝对值）。

#### 1.2.3 `e = 0, f = 0` ####

这只表示一个值 `0`，但加上符号位，所以有 `+0` 与 `-0`。

但在运算中：

> +0 === -0
    true

#### 1.2.4 `e = 2047, f > 0` ####

这只表示一种值 `NaN`。

但在运算中：

> NaN == NaN
    false
    
    > NaN === NaN
    false

#### 1.2.5 `e = 2047, f = 0` ####

这只表示一个值 `∞` (infinity, 无穷大)。

在运算中：

> Infinity === Infinity
    true
    
    > -Infinity === -Infinity
    true

### 1.3 绝对值的最大安全值 ###

从上面可以看出，4 个字节能存储的最大数值是 `Number.MAX_VALUE` 的值，也就是 `~= Math.pow(2, 1024) - 1`。

但这个数值并不安全：从 `1` 到 `Number.MAX_VALUE` 中间的数字并不连续，而是离散的。

比如：`Number.MAX_VALUE - 1`, `Number.MAX_VALUE - 2` 等数值都无法用公式得出，就存储不了。

所以这里引出了最大安全值 `Number.MAX_SAFE_INTEGER`，也就是从 `1` 到 `Number.MAX_SAFE_INTEGER` 中间的数字都是连续的，处在这个范围内的数值计算都是安全的。

当 `f = 11...11, e = 1075`（中间省略 48 个 1）时，取得这个值 `111...11`（中间省略 48 个 1），即 `Math.pow(2, 53) - 1`。

大于 `Number.MAX_SAFE_INTEGER：Math.pow(2, 53) - 1` 的数值都是离散的。

比如：`Math.pow(2, 53) + 1`, `Math.pow(2, 53) + 3` 不能用公式得出，无法存储在内存中。

所以才会有文章开头的现象：

> Math.pow(2, 53)
    9007199254740992
    
    > Math.pow(2, 53) + 1
    9007199254740992
    
    > Math.pow(2, 53) + 3
    9007199254740996

因为 `Math.pow(2, 53) + 1` 不能用公式得出，就无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数，`Math.pow(2, 53)`，然后存储在内存中，这就是失真，即不安全。

### 1.4 小数的存储方式与计算 ###

小数中，除了满足 `m / (2 ^ n)`（`m, n` 都是整数）的小数可以用完整的 2 进制表示之外，其他的都不能用完整的 2 进制表示，只能无限的逼近一个 2 进制小数。

（注：`[2]` 表示二进制，`^` 表示 N 次方）

0.5 = 1 / 2 = [2]0.1
    0.875 = 7 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 = [2]0.111

# 0.3 的逼近
    
    0.25 ([2]0.01) < 0.3 < 0.5 ([2]0.10)
    
    0.296875 ([2]0.0100110) < 0.3 < 0.3046875 ([2]0.0100111)
     
    0.2998046875 ([2]0.01001100110) < 0.3 < 0.30029296875 ([2]0.01001100111)
    
    ... 根据公式计算，直到把分数部分的 52 位填满，然后取最靠近的数
    
    0.3 的存储方式：[2]0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
    
    (f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110011, e = 1021)

从上面可以看出，小数中大部分都只是近似值，只有少部分是真实值，所以只有这少部分的值（满足 `m / (2 ^ n)` 的小数）可以直接比较大小，其他的都不能直接比较。

> 0.5 + 0.125 === 0.625
    true
    
    > 0.1 + 0.2 === 0.3
    false

为了安全的比较两个小数，引入 `Number.EPSILON [Math.pow(2, -52)]` 来比较浮点数。

> Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON
    true

### 1.5 小数最大保留位数 ###

`js` 从内存中读取一个数时，最大保留 `17` 位有效数字。

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
    0.30000000000000000
    0.3

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110010
    0.29999999999999993

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
    0.30000000000000004

> 0.0000010100011110101110000101000111101011100001010001111100
    0.020000000000000004

## 2. Number 对象中的常量 ##

### 2.1 Number.EPSILON ###

表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。

Math.pow(2, -52)

用于浮点数之间安全的比较大小。

### 2.2 Number.MAX\_SAFE\_INTEGER ###

绝对值的最大安全值。

Math.pow(2, 53) - 1

### 2.3 Number.MAX\_VALUE ###

`js` 所能表示的最大数值（4 个字节能存储的最大数值）。

~= Math.pow(2, 1024) - 1

### 2.4 Number.MIN\_SAFE\_INTEGER ###

最小安全值（包括符号）。

-(Math.pow(2, 53) - 1)

### 2.5 Number.MIN\_VALUE ###

`js` 所能表示的最小数值（绝对值）。

Math.pow(2, -1074)

### 2.6 Number.NEGATIVE\_INFINITY ###

负无穷大。

-Infinity

### 2.7 Number.POSITIVE\_INFINITY ###

正无穷大。

+Infinity

### 2.8 Number.NaN ###

非数字。

## 3. 寻找奇怪现象的原因 ##

### 3.1 为什么 `0.1 + 0.2` 结果是 `0.30000000000000004` ###

与 `0.3` 的逼近算法类似。

0.1 的存储方式：[2]0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
    
    (f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1019)
    
    0.2 的存储方式：[2]0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010
    
    (f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1020)

0.1 + 0.2: 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111
    
    (f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111, e = 1021)

但 `f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111` 有 53 位，超过了正常的 52 位，无法存储，所以取最近的数：

0.1 + 0.2: 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
    
    (f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110100, e = 1021)

`js` 读取这个数字为 `0.30000000000000004`

### 3.2 为什么 `Math.pow(2, 53) + 1` 结果是 `Math.pow(2, 53)` ###

因为 `Math.pow(2, 53) + 1` 不能用公式得出，无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数。

比这个数小的、最靠近的数：

Math.pow(2, 53)
    
    (f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000, e = 1076)

比这个数大的、最靠近的数：

Math.pow(2, 53) + 2
    
    (f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000001, e = 1076)

取第一个数：`Math.pow(2, 53)`。

所以：

> Math.pow(2, 53) + 1 === Math.pow(2, 53)
    true

## 参考文章 ##

*  [How numbers are encoded in JavaScript][]
 *  [JavaScript是怎样编码数字的][JavaScript]

## 后续 ##

更多博客，查看 [https://github.com/senntyou/blogs][https_github.com_senntyou_blogs]

作者：[深予之 (@senntyou)][_senntyou]

[How numbers are encoded in JavaScript]: http://2ality.com/2012/04/number-encoding.html
[JavaScript]: https://segmentfault.com/a/1190000017090272
[https_github.com_senntyou_blogs]: https://github.com/senntyou/blogs
[_senntyou]: https://github.com/senntyou
[3.0]: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.zh