图论（一）度序列与Havel-Hakimi定理

古城微笑少年丶 2022-04-08 15:49 131阅读 0赞

我一直想写一些关于图论学习的收获。一直由于这样或者那样的原因都没有开始。无论如何，现在开始吧！

那么到底什么是图呢？我们这里说的图当然不是像照片一样的东东。最权威的定义：图=顶点集合+边集合。换言之，凡是能抽象成点集合和边集合的东西都是图。比如：中国地图。地图上的城市是一个个的点，而任意两个相邻城市之间有路。那么地图就是很直观的一种图。为了更方便的表示，我们引入了英语单词。Vertext(顶点),Edge(边)，Graph（图）。不管什么图，就可以用G<V,E>表示了。

地图是一种图，中国的七大水系网也是一种图。很多湖泊可以视为点，而长江、黄河这些可以看作边。由于水流基本上是单向的(当然也有倒流的情况，这里我们理想化就忽略了)，所以，像这样：边有方向的图我们称为有方向的图（长江水只能从喜马拉雅流向东海，而绝对不会反过来的）简称有向图。如果边没有方向，那当然称为无向图了。

我们还是回到地图。都说条条大路通北京（你说罗马也没错），那么有到底有多少条路到北京呢？在图论里，把这样连接到一个点的边的数量（比如连接到北京的路）称为：度！

对于图的所有顶点，我们可以统计出每个顶点的度。像这样的一串数字，我们称之为：度序列。那么反过来，给定一个序列，能否判断这个序列是可图的呢？这里有一个定理：Havel-Hakimi定理可以用来判定一个序列是否可图。Poj1659就是用Havel-Hakimi解决的。

Havel-Hakimi定理的内容可百度之。

Havel-Hakimi定理很容易理解：

三步走就可以了：

比如序列：4 7 7 3 3 3 2 1

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      下标 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      8 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      值 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

第一步：把序列按降序排序。

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      下标 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      8 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      值 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

第二步：删除第一个数7。序列变成

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      下标 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      值 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

第三步：从头开始，数7个数，也就是下标：\[1,7\]把\[1,7\]区间里的值都减1

由于第一个数已经删除，那么序列变成这样的了：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      下标 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      7 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      值 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

然后：

重复第一步：排序。

重复第二步：删除第一个数6

重复第三步：从头开始数6个数：也就是下标【1,6】，把区间【1，6】中的数删除。序列变成：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      下标 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      6 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      值 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      -1 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

由于已经出现了-1，而一个点的边数（度）不可能为负数。所以，我们就可以判定序列无法构成一个图，所以此序列是不可图的。

下面再举一个例子：

已经排序：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      5 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

删除第一个数5：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      4 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

把前面5个数减1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

排序：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      3 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

删除第一个数3：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      2 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

把前面3个数减1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

排序：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

删除第一个数1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

把前面1个数减1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1. 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

排序：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

删除第一个数1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

把前面1个数减1：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

排序：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      1 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

依此类推：到最后只剩下：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div>
      0 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

由此判断该序列是可图的。

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