Dijkstra算法----- Java代码实现

梦里梦外; 2022-04-04 17:14 224阅读 0赞

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迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。  
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

**基本思想**

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

**操作步骤**

**(1)** 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"\[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞\]。

**(2)** 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

**(3)** 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

**(4)** 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

### **迪杰斯特拉算法图解** ###

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以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

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**初始状态**：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！  
**第1步**：将顶点D加入到S中。  
此时，S=\{D(0)\}, U=\{A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)\}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

**第2步**：将顶点C加入到S中。  
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。  
此时，S=\{D(0),C(3)\}, U=\{A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)\}。

**第3步**：将顶点E加入到S中。  
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4)\}, U=\{A(∞),B(23),F(6),G(12)\}。

**第4步**：将顶点F加入到S中。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6)\}, U=\{A(22),B(13),G(12)\}。

**第5步**：将顶点G加入到S中。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)\}, U=\{A(22),B(13)\}。

**第6步**：将顶点B加入到S中。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)\}, U=\{A(22)\}。

**第7步**：将顶点A加入到S中。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)\}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：**A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)**。

### **迪杰斯特拉算法的代码说明** ###

以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

**1. 基本定义**

public class MatrixUDG {
    
        private int mEdgNum;        // 边的数量
        private char[] mVexs;       // 顶点集合
        private int[][] mMatrix;    // 邻接矩阵
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值
    
        ...
    }

MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。mVexs用于保存顶点，mEdgNum用于保存边数，mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix\[i\]\[j\]=1，则表示"顶点i(即mVexs\[i\])"和"顶点j(即mVexs\[j\])"是邻接点；mMatrix\[i\]\[j\]=0，则表示它们不是邻接点。

**2. 迪杰斯特拉算法**

/*
     * Dijkstra最短路径。
     * 即，统计图中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
     *
     * 参数说明：
     *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
     *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
     *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
     */
    public void dijkstra(int vs, int[] prev, int[] dist) {
        // flag[i]=true表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取
        boolean[] flag = new boolean[mVexs.length];
    
        // 初始化
        for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
            flag[i] = false;          // 顶点i的最短路径还没获取到。
            prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
            dist[i] = mMatrix[vs][i];  // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
        }
    
        // 对"顶点vs"自身进行初始化
        flag[vs] = true;
        dist[vs] = 0;
    
        // 遍历mVexs.length-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
        int k=0;
        for (int i = 1; i < mVexs.length; i++) {
            // 寻找当前最小的路径；
            // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
            int min = INF;
            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
                if (flag[j]==false && dist[j]<min) {
                    min = dist[j];
                    k = j;
                }
            }
            // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
            flag[k] = true;
    
            // 修正当前最短路径和前驱顶点
            // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
                int tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
                if (flag[j]==false && (tmp<dist[j]) ) {
                    dist[j] = tmp;
                    prev[j] = k;
                }
            }
        }
    
        // 打印dijkstra最短路径的结果
        System.out.printf("dijkstra(%c): \n", mVexs[vs]);
        for (int i=0; i < mVexs.length; i++)
            System.out.printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", mVexs[vs], mVexs[i], dist[i]);
    }

### **迪杰斯特拉算法的源码** ###

这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的迪杰斯特拉算法源码。

**1**. [邻接矩阵源码(MatrixUDG.java)][MatrixUDG.java]

**2**. [邻接表源码(ListUDG.java)][ListUDG.java]

[http_www.cnblogs.com_skywang12345]: http://www.cnblogs.com/skywang12345/
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[MatrixUDG.java]: https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/dijkstra/udg/java/MatrixUDG.java
[ListUDG.java]: https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/dijkstra/udg/java/ListUDG.java