离散度的测量（来自百度百科）与应用（自己理解）

灰太狼 2022-03-27 11:11 386阅读 0赞

**应用：**

**　　离散度可以在编解码中分析不同变换的效率。CELT编码中就选择了这种方法来决定是否应该使用harr小波变换。**

**测量方法：**

**标准差**（**Standard Deviation**），在[概率][Link 1]统计中最常使用作为[统计分布][Link 2]程度（statistical dispersion）上的[测量][Link 3]。标准差定义是总体各单位标志值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

为非负数值， 与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个[随机变量][Link 4]的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式

假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为[实数][Link 5]），其平均值为μ，公式如图1.

[ ][Link 6] [![图1][1]][Link 6]

图1

标准差也被称为[标准偏差][Link 7]，或者实验标准差，公式如图2。

[ ][Link 8] [![图2][2]][Link 8]

图2

简单来说，标准差是一组数据[平均值][Link 9]分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 \{0,5,9,14\} 和 \{5,6,8,9\} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的[指标][Link 10]。标准差数值越大，代表回报远离过去[平均数][Link 11]值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

**如是总体，[标准差公式][Link 12]根号内除以n　　如是[样本][Link 13]，标准差公式根号内除以（n-1）　　因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1）**

**公式意义　　**

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在[正态分布][Link 14]中，此范围所占比率为全部数值之 68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为 95%。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为 99%。

[ ][Link 15] [![正态分布图][77c6a7efce1b9d1695a08922f3deb48f8c546409.jpg]][Link 15]

正态分布图

标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精确度的重要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有[误差][Link 16]的，所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值 是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，其检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密，与真实值的距离就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的 最重要也是最基本的指标。

一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法：

### 极差 ###

最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是[极差][Link 17]的具体应用。

### 离均差的平方和 ###

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平[均值][Link 18]的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它[离均差][Link 19]）加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成[正态分布][Link 14]的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对 值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方和成了评价离散度 一个指标。

### 方差（S2） ###

由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将离均差的平方和求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。

样本量越大越能反映真实的情况，而算术平均值却完全忽略了这个问题，对此[统计学][Link 20]上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是样本能[自由选择][Link 21]的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以[自由度][Link 22]是n-1。

### 标准差（SD） ###

由于[方差][Link 23]是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1），它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

### 变异系数（CV） ###

标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度，但是对于不同的检目，或同一项目不同的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于方法学评价来说又引入了变异系数CV。

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一“自然”的测量。

**定义公式：其中N应为n-1，即自由度**

[ ][Link 24] [![标准差与平均值定义公式][d439b6003af33a87111e5010c65c10385343b54d.jpg]][Link 24]

标准差与平均值定义公式

⒈方差s^2=\[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2\]/(n) （x为平均数）

⒉标准差=方差的算术平方根

error bar。在实验中单次测量总是难免会产生误差，为此我们经常测量多次，然后用测量值的平均值表示测量的量，并用误差条来表征数据的分布，其中误差条的高度为±标准误。这里即标准差standard deviation和标准误standard error 的计算公式分别为

[ ][Link 25] [![标准差][bf096b63f6246b608ae24513ebf81a4c500fa2ed.jpg]][Link 25]

标准差

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/45320.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/2652906.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/20544.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/45329.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/14749.htm
[Link 6]: http://baike.baidu.com/albums/78339/78339/0/0.html#0%24787014551582ab9bb645ae58
[1]: http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=e7afd755304e251fe6f7e3fa9787c9c2/e7cd7b899e510fb3a9bf02f8d933c895d1430c3e.jpg
[Link 7]: http://baike.baidu.com/view/663819.htm
[Link 8]: http://baike.baidu.com/albums/78339/78339/0/0.html#0%241c950a7b02087bf4ac001f5cf2d3572c10dfcf93
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[Link 9]: http://baike.baidu.com/view/1199275.htm
[Link 10]: http://baike.baidu.com/view/605645.htm
[Link 11]: http://baike.baidu.com/view/687354.htm
[Link 12]: http://baike.baidu.com/view/3190315.htm
[Link 13]: http://baike.baidu.com/view/315109.htm
[Link 14]: http://baike.baidu.com/view/45379.htm
[Link 15]: http://baike.baidu.com/albums/78339/78339/0/0.html#0%2477c6a7efce1b9d1695a08922f3deb48f8c546409
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[Link 16]: http://baike.baidu.com/view/40051.htm
[Link 17]: http://baike.baidu.com/view/53634.htm
[Link 18]: http://baike.baidu.com/view/1052684.htm
[Link 19]: http://baike.baidu.com/view/8883518.htm
[Link 20]: http://baike.baidu.com/view/50313.htm
[Link 21]: http://baike.baidu.com/view/1727554.htm
[Link 22]: http://baike.baidu.com/view/327514.htm
[Link 23]: http://baike.baidu.com/view/172036.htm
[Link 24]: http://baike.baidu.com/albums/78339/78339/0/0.html#0%24d1e312f4c9e3aed57609d7ae
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[Link 25]: http://baike.baidu.com/albums/78339/78339/0/0.html#0%24b74124f3bc562b07342acc0e
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