组合数学 (一): 快速幂运算

谁践踏了优雅 2022-03-21 08:58 291阅读 0赞

### 快速幂 ###

*  快速幂运算
 *   *  C语言实现
 *  应用

# 快速幂运算 #

普通幂运算复杂度为 *O(N)*  
快速幂运算复杂度为 *O(lgN)*

举个例子:  
如果计算  7 13 7^\{13\} 713

*  普通幂运算:
    
        int result = 1;
          for (int i = 0; i < 13; i++) { 
          	result *= 7;
          }
    
    连乘13次, 简单明了
 *  快速幂运算:  
    十进制数 *13* 的二进制为 *1101* 即 1 + 4 + 8, 所以  7 13 = 7 1 + 4 + 8 = 7 ∗ 7 4 ∗ 7 8 7^\{13\} = 7^\{1 + 4 + 8\} = 7 \*7^4 \* 7^8 713=71\+4\+8=7∗74∗78  
    **只需3次乘法运算**, 每次运算时乘数取平方即可
    
        int result = 1;
        	遍历13的二进制位 { 
        		if (第 i 位 == 1) { 
        			result *= 7 ^ (2 ^ i);
        		}
        	}
    
    容易看出, **循环的次数是数字*b*的二进制中的最大的位数**, 即 *lgN* 次. 每次循环体内的运算为 *O(1)*, 因此总复杂度为 *O(lgN)* .  
    **但是由于整形数据一般是32 / 64位, 所以最大运算次数是32 / 64次, 因此也可以说复杂度是O(1)**

## C语言实现 ##

int pow(int a, int b) { 
    	int result = 1;
    	while (b) { 
    		if (b & 1) result *= a;
    		a *= a;
    		b >>= 1;
    	}
    	return result;
    }

# 应用 #

*  杨辉三角第 i 行作为十进制数是 11 的 i 次方 (i 从0开始), 因此计算第 n 行 (n < 1 e 8) 可以用快速幂运算
 *  (拓展) 矩阵快速幂, 在后续组合数学问题中会用到

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