苏苏酱陪你学动态规划（三）——背包问题

清疚 2022-03-12 11:30 213阅读 0赞

## 1、0-1背包问题 ##

背包问题的典型描述如下：

一、假如你是奥特曼，有N点的攻击力，现在有一些小怪兽，每一个小怪兽被打倒都需要消耗你一定数量的攻击力，同时你将获得该怪兽对应的金币。现在请计算你所能获得的最多金币数。

二、加入你是小偷，带了一个容量为V的包，此时你去商店偷商品（每一个商品都具有不同的价值），每偷一个商品将占用你背包一定的空间，请你偷价值尽量多的商品。

## 2、问题的分析 ##

这一类问题都是0-1背包问题，换句话说，每一个问题中都可以抽象为“偷”或者“不偷”，以此来达到目标函数最大化。这种问题的求解通常使用动态规划。

假设已知x个商品它们的体积存储在数组L中；

假设已知x个商品它们的价值存储在数组P中；

假设背包最大容积是V，那么我们的状态函数就是B(x,V)——表示从x个商品中偷使得获得价值最多，此时的背包容积为V。

现在我们可以从后往前推：

如果最后一个商品可以被偷（包还装得下），那么一定偷这个商品（多偷一个是一个，这是常识）

如果最后一个商品的体积大于背包剩下的容积，显然我们已经无法偷这个商品，那么此时的状态函数为B(x-1,V)

现在剩下一个新的问题，那就是剩下的倒数第二个商品是偷好，还是不偷好，也就是偷和不偷哪个可以使最终的收益最大？

一、偷，那么此时的状态函数为B(x-1,V-L\[x-1\])+P\[x-1\]

二、不偷，那么此时的状态函数B(x-1,V)

因此，通过上述分析，我们就知道了状态的转移函数，那么一直运算到边界条件，就可以返回求出最优解，这是动态规划中典型的分而治之的思想，也就是把大问题分解成若干小问题求解，最终获得最优解。

为了避免同一个子问题的反复求解，我们一般使用记忆化递归的方法，记录每一个子问题的解，然后记录在一个数组中，这样可以控制算法的时间空间复杂度。

## 3、编程实现 ##

loupan, zijin = map(int,input().split())
    L = [0]
    P = [0]
    for i in range(loupan):
        l, p = map(int,input().split())
        L.append(l)
        P.append(p)
    B = [[0]*(zijin+1)]*(loupan+1)
    print("B:",B)
    print("L:",L)
    print("P:",P)
    for c in range(1,loupan+1):
        for r in range(1,zijin+1):
            if r < L[c]:
                B[c][r] = B[c-1][r]
            else:
                B[c][r] = max(B[c-1][r],B[c-1][r-L[c]] + P[c])
    print(B[loupan][zijin])

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