MIT_单变量微积分_16

清疚 2022-03-12 09:24 98阅读 0赞

### 1.定积分 ###

`Ex:`计算区域的面积。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
(1)使用举行将其分成许多小块矩形。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
`Ex1:` f ( x ) = x 2 ( a = 0 ) 如 图 所 示 ： f(x)=x^2(a=0) 如图所示： f(x)=x2(a=0)如图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
将其分成 n n n份矩形，每个矩形的长度为 b n \\frac\{b\}\{n\} nb,得出：

S = b n ( b n ) 2 + b n ( 2 b n ) 2 + b n ( 3 b n ) 2 + b n ( 4 b n ) 2 + . . . + b n ( n b n ) 2 = ( b n ) 3 ( 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . . + n 2 ) = ? ? ? S=\\frac\{b\}\{n\}(\\frac\{b\}\{n\})^2+\\frac\{b\}\{n\}(\\frac\{2b\}\{n\})^2+\\frac\{b\}\{n\}(\\frac\{3b\}\{n\})^2+\\frac\{b\}\{n\}(\\frac\{4b\}\{n\})^2+...+\\frac\{b\}\{n\}(\\frac\{nb\}\{n\})^2\\\\ =(\\frac\{b\}\{n\})^3(1+2^2+3^2+4^2+....+n^2)\\\\ =??? S=nb(nb)2\+nb(n2b)2\+nb(n3b)2\+nb(n4b)2\+...\+nb(nnb)2=(nb)3(1\+22\+32\+42\+....\+n2)=???  
 1 3 n 3 ≤ ( 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . . + n 2 ) ≤ 1 3 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) \\frac\{1\}\{3\}n^3 \\leq (1+2^2+3^2+4^2+....+n^2) \\leq \\frac\{1\}\{3\}(n+1)^2(n+1) 31n3≤(1\+22\+32\+42\+....\+n2)≤31(n\+1)2(n\+1)  
这个式子也就是所谓的夹逼准则，至于几何推论可以想象以下那个金字塔的例子。  
 1 3 ≤ ( 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . . + n 2 ) n 3 ≤ 1 3 ( n + 1 ) 3 n 3 = 1 3 ( 1 + 1 n ) 3 , n → ∞ 时 = 1 3 \\frac\{1\}\{3\} \\leq \\frac\{(1+2^2+3^2+4^2+....+n^2)\}\{n^3\} \\leq \\frac\{1\}\{3\}\\frac\{(n+1)^3\}\{n^3\}=\\frac\{1\}\{3\}(1+\\frac\{1\}\{n\})^3 ,n\\rightarrow \\infty 时=\\frac\{1\}\{3\} 31≤n3(1\+22\+32\+42\+....\+n2)≤31n3(n\+1)3=31(1\+n1)3,n→∞时=31  
`Ex2:`黎曼猜想：  
把小矩形的长度变得很小很小。

∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x ( 这 个 就 是 黎 曼 和 ) → ∫ a b f ( x ) d x \\sum\_\{i=1\}^\{n\}f(ci) \\Delta x (这个就是黎曼和)\\rightarrow \\int\_a^b f(x)dx i=1∑nf(ci)Δx(这个就是黎曼和)→∫abf(x)dx

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