从左手坐标系到右手坐标系的变换

忘是亡心i 2022-03-09 13:44 503阅读 0赞

> 该博客主要参照论文:![在这里插入图片描述][20190313105117517.png]  
> 链接：[https://pan.baidu.com/s/1LzP2UNIHCm8RPg2eQX0rdQ][https_pan.baidu.com_s_1LzP2UNIHCm8RPg2eQX0rdQ]  
> 提取码：hiuc

### 文章目录 ###

*   *  1.坐标点的转换
     *  2. 旋转的转换
     *   *  2.1 Conversion of Heading
         *  2.1 Conversion of Pitch
         *  2.1 Conversion of Bank
     *  3. 旋转变换的组合
     *  4.仿射变换的转换
 *  总结

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
左手坐标系和右手坐标系之间的差异就是某一个坐标轴的方向取反，上图中是X轴取反。

和论文原文保持一致，我们以X轴取反为例分析，如何从左手坐标系转换到右手坐标系。其他的情况可以据此类推。

## 1.坐标点的转换 ##

![在这里插入图片描述][20190313110238514.png]  
可以从图中看出，同一个小黑点，在左手坐标系中的坐标是`(x,y,z)`,在右手坐标系中的坐标就是`(x,y,-z)`。

图中显示了左手坐标系中的点有一个正的z分量。在右手坐标系中，观察z分量必须为负。在矩阵向量形式中，从左手点q’到右手点qr的转换是  
![在这里插入图片描述][20190313110930294.png]

> 注意啦 又要划重点啦！  
> 此处坐标点使用的是列向量，列向量左乘在矩阵之后。行向量左乘矩阵、列向量有乘矩阵存在如下区别：`AT=B` ==>`T'A'=B'`  
> （其中`A`和`B`是点坐标组成的行向量，`A'`和`B'`则是转置后所得列向量，`T`是矩阵）

上面的S\_z矩阵具体计算如下所示：  
![在这里插入图片描述][20190313111743127.png]  
所以，点坐标从左手坐标系转化到右手坐标系中，只需要对XYZ中某一个分量取反。例如将Z轴取反。  
![在这里插入图片描述][20190313111906638.png]

## 2. 旋转的转换 ##

### 2.1 Conversion of Heading ###

首先，讲一下Heading(航向)是啥。绕Y轴的旋转就是Heading。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
如果旋转h角度，对应的旋转矩阵如下，该矩阵在位姿控制领域也可以叫**航向矩阵**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

> 划重点啦  
> 首先，此处的矩阵是在左手坐标系中！！ 有可能你会发现这个矩阵为啥和有的地方的讲的是转置的关系。  
> 这就是行向量左乘矩阵、列向量右乘矩阵存在如下区别：`AT=B` ==>`T'A'=B'`造成的差异  
> 结论就是：上述矩阵是①左手坐标系中列向量右乘时使用，表示绕Y轴旋转h度，也可以是②右手坐标系中行向量左乘时使用，表示绕Y轴旋转h度。

> 划重点  
> 当然，此处使用的是①。本文所有的讲解都是以左手坐标系为主、以列向量右乘为要求。

引入航向Pitch矩阵作为一种存储旋转坐标方向的简便方法。  
该矩阵具有双重功能，因为它还可用于显示原始坐标系中的点（x；y；z）如何旋转到点（x0；y0；z0）。如下所示，  
![在这里插入图片描述][20190313113151114.png]  
在左手坐标系中，上述等式可以表示为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
当把点`Q_l(x,y,z)`和点`Q'_l(x', y', z')`都转化到右手坐标系中时，点的坐标变成了`Q_r(x,y,-z)`和`Q'_r(x',y',-z')`,那么原本的航向矩阵`H_l`已经无法使得原等式成立。下面重新推导计算的等式：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
**结论：** 相对于左手坐标系，右手坐标系中的航向矩阵转化为：`H_r = S_z H_l S_z`

### 2.1 Conversion of Pitch ###

有了Heading矩阵转换的讲解，此处直接粘贴论文，不做中文讲解。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
![在这里插入图片描述][20190313145616369.png]  
![在这里插入图片描述][20190313150341215.png]

### 2.1 Conversion of Bank ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

## 3. 旋转变换的组合 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

## 4.仿射变换的转换 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

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# 总结 #

同一个物体在左手坐标系中描述(位姿描述=位置+姿态)是一种形式，换到右手坐标系中描述又是另一种形式。

位置描述的变换是相对简单的，只需要将某一个坐标轴的值取反，也就是与`S_z`矩阵作用。

姿态描述的变换则需要结合位置描述，原本左手系中描述姿态的旋转矩阵为`R_l`，转换到右手系中，则为`S_z ·R_l·S_z`。

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