Python实现迪杰斯特拉算法

女爷i 2022-03-07 14:58 277阅读 0赞

一、 迪杰斯特拉算法思想  
Dijkstra算法主要针对的是有向图的单元最短路径问题，且不能出现权值为负的情况！Dijkstra算法类似于贪心算法，其应用根本在于最短路径的最优子结构性质。

> 最短路径的最优子结构性质：  
> 如果P(i,j)=\{Vi…Vk…Vs…Vj\}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。  
> **证明：**  
> 假设P(i,j)=\{Vi…Vk…Vs…Vj\}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P(k,s)，那么P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

因此，Dijkstra算法描述如下：  
Dijikstra算法描述如下：  
假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，S=\{V0\},distance\[i\]记录V0到i的最短距离，matrix\[i\]\[j\]记录从i到j的边的权值，即两点之间的距离。  
1）从V-S中选择使dist\[i\]值最小的顶点i，将i加入到U中；  
2）更新与i直接相邻顶点的dist值。dist\[j\]=min\{dist\[j\],dist\[i\]+matrix\[i\]\[j\]\}  
3）直到S=V，所有顶点都包含进来了，算法停止。

二、 具体操作步骤  
根据其算法思想，确立操作步骤如下：  
(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"\[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞\]。  
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。  
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。  
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。  
三、 Python源码  
图使用邻接矩阵存储，本部分代码改编自巫泽俊《挑战程序设计竞赛第2版》

# _*_ encoding:utf-8 _*_
    # 辅助信息
    # 图中的顶点数
    V = 7
    # 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
    used = [False for _ in range(V)]
    # 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
    distance = [float('inf') for _ in range(V)]
    # cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值，不存在时设为INF
    cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]
    
    
    def dijkstra(s):
        distance[s] = 0
        while True:
            # v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
            v = -1
            # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
            for u in range(V):
                if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                    v = u
            if v == -1:
                # 说明所有顶点都维护到S中了！
                break
    
            # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
            used[v] = True
            # 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
            for u in range(V):
                distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])
    
    
    if __name__ == '__main__':
        for _ in range(12):
            v, u, w = list(map(int, input().split()))
            cost[v][u] = w
        s = int(input('请输入一个起始点：'))
        dijkstra(s)
        print(distance)

四、 源码分析

1.  数据结构：cost邻接矩阵存储的是图中边的信息；distance距离数组维护的是从源起点s到其他顶点的最短距离，是一个频繁变动的数据结构；used布尔数组标记了顶点有没有使用过，即used数组中值为True的顶点元素加入到了S中，值为False的顶点元素加入到了U中，最后所有顶点加入到S中即used的所有元素值为False。同时初始化是将cost所有边权重初始化为无穷大，float(‘inf’
2.  顶点编号为0,1,2…V-1，为了对包括起点在内的所有顶点统一处理，设置了一个哨兵v（初始化为-1），哨兵v代表每次筛选出来的要加入到S中的距离最小的顶点元素，同时，如果所有顶点都加入到S中后，v的值仍为-1，可以做为循环结束的标记！