马氏距离和欧式距离详解

迈不过友情╰ 2022-02-27 16:26 1546阅读 0赞

一般在机器学习模型中会涉及到衡量两个样本间的距离，如**聚类、KNN，K-means**等，使用的距离为**欧式距离**。其实，除了欧氏距离之外，还有很多的距离计算标准，本文主要介绍欧氏距离和马氏距离。

### 欧氏距离 ###

最常见的两点之间或多点之间的距离表示法，又称之为欧几里得度量，它定义于欧几里得空间中，如点  x = ( x 1 , … , x n ) x = (x\_1,…,x\_n) x=(x1,…,xn) 和  y = ( y 1 , … , y n ) y = (y\_1,…,y\_n) y=(y1,…,yn) 之间的距离为：  
 d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + . . . + ( x n − y n ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 d(x,y) = \\sqrt\{(x\_1-y\_1)^2+(x\_2-y\_2)^2+...+(x\_n-y\_n)^2\} = \\sqrt\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-y\_i)^2\} d(x,y)=(x1−y1)2\+(x2−y2)2\+...\+(xn−yn)2=i=1∑n(xi−yi)2

1.  二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：  
     d 12 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 d\_\{12\} = \\sqrt\{(x\_1-x\_2)^2+(y\_1-y\_2)^2\} d12=(x1−x2)2\+(y1−y2)2
2.  两个n维向量 a ( x 11 , x 12 , … , x 1 n ) a(x\_\{11\},x\_\{12\},…,x\_\{1n\}) a(x11,x12,…,x1n)与  b ( x 21 , x 22 , … , x 2 n ) b(x\_\{21\},x\_\{22\},…,x\_\{2n\}) b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：  
     d 12 = ∑ k = 1 n ( x 1 k − x 2 k ) 2 d\_\{12\} = \\sqrt\{\\sum\_\{k=1\}^\{n\}(x\_\{1k\}-x\_\{2k\})^2\} d12=k=1∑n(x1k−x2k)2

### 马氏距离 ###

在介绍马氏距离之前，我们先来看如下几个概念：

1.  **方差：方差是标准差**的平方，而标准差的意义是**数据集中各个点到均值点距离的平均值**。反应的是数据的离散程度。
2.  **协方差：** 标准差与方差是描述一维数据的，当存在多维数据时，我们通常需要知道每个维数的变量中间是否存在关联。**协方差就是衡量多维数据集中，变量之间相关性的统计量**。比如说，一个人的身高与他的体重的关系，这就需要用协方差来衡量。如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。
3.  **协方差矩阵：** 当变量多了，超过两个变量了。那么，就用协方差矩阵来衡量这么多变量之间的相关性。假设  X X X 是以  n n n个随机变数（其中的每个随机变数是也是一个向量，当然是一个行向量）组成的列向量：  
     X = \[ X 1 X 2 ⋮ X n \] X = \\begin\{bmatrix\} X\_1 \\\\ X\_2 \\\\ \\vdots \\\\ X\_n \\end\{bmatrix\} X=⎣⎢⎢⎢⎡X1X2⋮Xn⎦⎥⎥⎥⎤  
    其中， μ i μ\_i μi是第i个元素的期望值，即 μ i = E ( X i ) μ\_i=E(X\_i) μi=E(Xi)。协方差矩阵的第 i , j i,j i,j项（第 i , j i,j i,j项是一个协方差）被定义为如下形式：  
     ∑ i j = c o v ( X i , X j = E \[ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) \] ) \\sum\_\{ij\} = cov(X\_i,X\_j = E\[(X\_i-\\mu\_i)(X\_j-\\mu\_j)\]) ij∑=cov(Xi,Xj=E\[(Xi−μi)(Xj−μj)\])  
    即：  
     ∑ = \[ E \[ ( X 1 − μ 1 ) ( X 1 − μ 1 ) \] ) E \[ ( X 1 − μ 1 ) ( X 2 − μ 2 ) \] ) ⋯ E \[ ( X 1 − μ 1 ) ( X n − μ n ) \] ) E \[ ( X 2 − μ 2 ) ( X 1 − μ 1 ) \] ) E \[ ( X 2 − μ 2 ) ( X 2 − μ 2 ) \] ) ⋯ E \[ ( X 2 − μ 2 ) ( X n − μ n ) \] ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E \[ ( X n − μ n ) ( X 1 − μ 1 ) \] ) E \[ ( X n − μ n ) ( X 2 − μ 2 ) \] ) ⋯ E \[ ( X n − μ n ) ( X n − μ n ) \] ) \] \\sum = \\begin\{bmatrix\} E\[(X\_1-\\mu\_1)(X\_1-\\mu\_1)\]) & E\[(X\_1-\\mu\_1)(X\_2-\\mu\_2)\]) & \\cdots & E\[(X\_1-\\mu\_1)(X\_n-\\mu\_n)\]) \\\\ E\[(X\_2-\\mu\_2)(X\_1-\\mu\_1)\]) & E\[(X\_2-\\mu\_2)(X\_2-\\mu\_2)\]) & \\cdots & E\[(X\_2-\\mu\_2)(X\_n-\\mu\_n)\]) \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ E\[(X\_n-\\mu\_n)(X\_1-\\mu\_1)\]) & E\[(X\_n-\\mu\_n)(X\_2-\\mu\_2)\]) & \\cdots & E\[(X\_n-\\mu\_n)(X\_n-\\mu\_n)\]) \\end\{bmatrix\} ∑=⎣⎢⎢⎢⎡E\[(X1−μ1)(X1−μ1)\])E\[(X2−μ2)(X1−μ1)\])⋮E\[(Xn−μn)(X1−μ1)\])E\[(X1−μ1)(X2−μ2)\])E\[(X2−μ2)(X2−μ2)\])⋮E\[(Xn−μn)(X2−μ2)\])⋯⋯⋱⋯E\[(X1−μ1)(Xn−μn)\])E\[(X2−μ2)(Xn−μn)\])⋮E\[(Xn−μn)(Xn−μn)\])⎦⎥⎥⎥⎤  
    矩阵中的第  ( i , j ) (i,j) (i,j) 个元素是  X i X\_i Xi 与  X j X\_j Xj 的协方差。

**马氏距离的定义：**  
**马氏距离（Mahalanobis Distance）是由马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系**（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。  
对于一个均值为 μ = ( μ 1 , μ 2 , μ 3 , . . . , μ p ) T μ=(μ\_1,μ\_2,μ\_3,...,μ\_p)^T μ=(μ1,μ2,μ3,...,μp)T，协方差矩阵为 S S S的多变量 x = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x p ) T x=(x\_1,x\_2,x\_3,...,x\_p)^T x=(x1,x2,x3,...,xp)T，其马氏距离为：  
 D M ( x ) = ( x − μ ) T S − 1 ( x − μ ) D\_M(x) = \\sqrt\{(x-\\mu)^T \{S\}^\{-1\}(x-\\mu)\} DM(x)=(x−μ)TS−1(x−μ)  
我们可以**发现如果 S − 1 S^\{-1\} S−1是单位阵的时候，马氏距离简化为欧氏距离**。

**那我们为什么要用马氏距离呢？**  
马氏距离有很多**优点：** **马氏距离不受量纲的影响**，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。**马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰**。

**下面我们来看一个例子：**  
如果我们以厘米为单位来测量人的身高，以克（g）为单位测量人的体重。每个人被表示为一个两维向量，如一个人身高173cm，体重50000g，表示为（173,50000），根据身高体重的信息来判断体型的相似程度。

我们已知小明（160,60000）；小王（160,59000）；小李（170，60000）。根据常识可以知道小明和小王体型相似。但是如果根据欧几里得距离来判断，小明和小王的距离要远远大于小明和小李之间的距离，即小明和小李体型相似。这是因为**不同特征的度量标准之间存在差异而导致判断出错**。

以克（g）为单位测量人的体重，数据分布比较分散，即方差大，而以厘米为单位来测量人的身高，数据分布就相对集中，方差小。**马氏距离的目的就是把方差归一化，使得特征之间的关系更加符合实际情况**。

下图（a）展示了三个数据集的初始分布，看起来竖直方向上的那两个集合比较接近。在我们根据数据的协方差归一化空间之后，如图（b），实际上水平方向上的两个集合比较接近。

![在这里插入图片描述][20190328100741528.png]

**深入分析：**  
当求距离的时候，由于随机向量的每个分量之间量级不一样，比如说x1可能取值范围只有零点几，而x2有可能时而是2000，时而是3000，因此两个变量的离散度具有很大差异  
马氏距离除以了一个方差矩阵，这就把各个分量之间的方差都除掉了，消除了量纲性，更加科学合理。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JsdWVzbGl1Zg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
如上图，看左下方的图，比较中间那个绿色的和另外一个绿色的距离，以及中间绿色到蓝色的距离

如果不考虑数据的分布，就是直接计算欧式距离，那就是蓝色距离更近

但实际上需要考虑各分量的分布的，呈椭圆形分布

蓝色的在椭圆外，绿色的在椭圆内，因此绿色的实际上更近

马氏距离除以了协方差矩阵，实际上就是把右上角的图变成了右下角

**参考资料：**  
[马氏距离通俗理解][Link 1]

[20190328100741528.png]: /images/20220227/9d8ffb52c78049039ffbbedff310a625.png
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[Link 1]: https://blog.csdn.net/AffectiveComputing/article/details/82763011