人工智能--自然演绎推理

电玩女神 2022-02-15 04:29 971阅读 0赞

从**一组已知为真**的事实出发，直接运用**经典逻辑中的推理规则**推出结论的过程称为**自然演绎推理**。

自然演绎推理所给予的逻辑基础主要包含**等价式、永真蕴含式、置换、合一**

### 文章目录 ###

*  等价式
 *   *  定义
     *  常用等价式：
 *  永真蕴含式
 *   *  定义
     *  常用的永真蕴含式
 *  置换
 *   *  定义
     *  例示
     *   *  定义
     *  合成
     *   *  定义
     *  合一
     *   *  定义
 *  自然演绎推理的方法
 *   *  优点
     *  缺点

# 等价式 #

## 定义 ##

设`P`和`D`是`D`上的两个谓词公式，若对`D`上的任意解释，`P`与`Q`都有相同的真值，则称`P`与`Q`在`D`上是等价的。如果`D`是任意非空个体域，则称`P`与`Q`是等价的，记作 P ⇒ Q P \\Rightarrow\{Q\} P⇒Q

**谓词公式的一个解释是指对谓词公式中各个变元的一次真值指派**

## 常用等价式： ##

![image][]  
![image][image 1]

# 永真蕴含式 #

## 定义 ##

对谓词公式`P`和`Q`，如果 P → Q P \\rightarrow\{Q\} P→Q永真，则称`P`永真蕴含`Q`，且称`Q`为`P`的逻辑结论，`P`为`Q`的前提，记作 P ⇒ Q P \\Rightarrow\{Q\} P⇒Q。

## 常用的永真蕴含式 ##

![image][image 2]

**上述等价式和永真蕴含式是进行自然演绎推理的重要依据，因此这些公式也被称为推理规则。**

# 置换 #

在不同谓词公式中，往往会出现**多个谓词的谓词名相同但是个体不同的情况**，此时推理过程是不能直接进行匹配的，需要先进行边缘的替换。

## 定义 ##

替换是形如 \{ t 1 / x 1 , t 2 / x 2 , . . . , t n / x n \} \\\{t\_1/x\_1,t\_2/x\_2,...,t\_n/x\_n\\\} \{ t1/x1,t2/x2,...,tn/xn\}的有限集合。其中 t 1 t\_1 t1、 t 2 t\_2 t2,…, t n t\_n tn是项。 x 1 x\_1 x1、 x 2 x\_2 x2、,…, x n x\_n xn是互不相同的变元。 t i / x i t\_i/x\_i ti/xi表示用 t i t\_i ti替换 x i x\_i xi，并且要求 t i t\_i ti不能与 x i x\_i xi相同， x i x\_i xi不能循环的出现在另一个 t i t\_i ti中。

![image][image 3]

**通常，置换是用希腊字母来表示的。**

## 例示 ##

### 定义 ###

设 θ = \{ t 1 / x 1 , t 2 / x 2 , . . . , t n / x n \} \\theta = \\\{t\_1/x\_1,t\_2/x\_2,...,t\_n/x\_n\\\} θ=\{ t1/x1,t2/x2,...,tn/xn\}是一个置换，`F`是一个谓词公式，把公式F中出现的所有 x i x\_i xi换成 t i t\_i ti，得到一个新的公式`G`，称`G`为`F`在替换 θ \\theta θ下的**例示**，记为 G = F θ G=F\\theta G=Fθ

**一个谓词公式的任何例示都是该公式的逻辑结论。**

## 合成 ##

### 定义 ###

![image][image 4]

## 合一 ##

### 定义 ###

合一可以简单地理解为利用置换使两个或多个谓词的个体一致。

设有公式集 F = \{ F 1 , F 2 , . . , F n \} F=\\\{F\_1,F\_2,..,F\_n\\\} F=\{ F1,F2,..,Fn\}，若存在一个置换 θ \\theta θ，可使 F 1 θ = F 2 θ = . . . = F n θ F\_1\\theta=F\_2\\theta=...=F\_n\\theta F1θ=F2θ=...=Fnθ，则称 θ \\theta θ是`F`的一个合一，称 F 1 , F 2 , . . . , F n F\_1,F\_2,...,F\_n F1,F2,...,Fn是可合一的。

![image][image 5]

# 自然演绎推理的方法 #

自然演绎推理最基本的方法是三段论推理，包括了**假言推理、拒取式推理、假言三段论**等。

例如：

![image][image 6]

## 优点 ##

*  证明过程自然，易于理解
 *  有丰富的推理规则可用

## 缺点 ##

*  容易产生知识爆炸，即推理过程中得到的中间结论一般按指数规律递增

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