3D Vision、SLAM求职宝典 | 数学篇（B）

痛定思痛。 2022-02-02 16:59 322阅读 0赞

# **B 数学篇**  #

涉及概率，矩阵，数值计算，优化等。

又见数学，过来过去，不是数学就是编程，要想在SLAM领域做出点好的贡献，两者一个比一个难，有时候编程比数学更难………

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**目录**

1. 一层楼共有n级台阶，一次可以上至少一级但不超过m级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对10007取模的值即可

2. 拟合二维平面中的带噪声直线，其中有不超过20%的样本点远离了直线，另外80%的样本点可能有高斯噪声的偏移，要求输出为ax+by+c=0的形式，其中a>0且a^2+b^2=1

3. 切比雪夫不等式、协方差与相关系数、各种分布、多元高斯分布

4. 线性回归推导回归系数（y=kx，y=kx+b）

5. 甲乙两人约好在某地碰面，时间段为10点到11点。若甲先到，最多会等待10分钟，10分钟内乙未出现则离开；若乙先到，最多会等待15分钟，15分钟内甲未出现则离开，请问两人见面的概率是多少？

6. ABCDE5个人互相传球，由A开始第一次传球，经5次传球最后回到A的手上，其中A与B不会互相传球，C只会传给D，E不会传给C，共有多少种传球方法？

7. 平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1？

8. MLE、MAP和贝叶斯估计

9. MLE，MAP，EM 和 point estimation 之间的关系是怎样的？

10. 如何求解Ax=b (非迭代Cholesky分解、QR分解，迭代)

11. 最小二乘封闭解与迭代解的取舍

12. 梯度下降法、牛顿法、GN、LM，推导、优缺点

13. 如何判断点在多边形内

14. 一阶、二阶优化，Jacobian、hessian矩阵

15. 1000个数的阶乘，求有多少个0

16. 递推法求数学期望，反证法，数学归纳法等

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> ### 1. 一层楼共有n级台阶，一次可以上至少一级但不超过m级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对10007取模的值即可 ###

用到递归！ 等同于剑指offer上青蛙跳台阶问题（第77页）

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n - 3) + ... + f(n - m)

**递归一般是用来分析，自上而下，逻辑清楚；但是实现的话，因为递归的写法经常会出现重复调用的情况，效率不高，一般改用循环的写法，自下而上，效率高。**

此处省略实现代码。

> ### 2. 拟合二维平面中的带噪声直线，其中有不超过20%的样本点远离了直线，另外80%的样本点可能有高斯噪声的偏移，要求输出为ax+by+c=0的形式，其中a>0且a^2+b^2=1 ###

请见我的另一篇博客： 算法 | 专题解析之商汤2018校招

[https://blog.csdn.net/weixin\_43795395/article/details/89600060][https_blog.csdn.net_weixin_43795395_article_details_89600060]

其中第8题同。 按理说会用到ransac算法，具体你可以看代码。这里我就不贴了。

> ### 3. 切比雪夫不等式、协方差与相关系数、各种分布、多元高斯分布 ###

概率论基础，学好数学不仅要逻辑好，记忆力也要好啊……

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

切比雪夫不等式是这么写的：

![P(|X-\\mu | \\geq k\\sigma ) \\leq \\frac1\{k^2\}\\\\][P_X-_mu _ _geq k_sigma _ _leq _frac1_k_2]

其中 ![k > 0][k _ 0] ，![\\mu][mu] 是期望，![\\sigma][sigma] 是标准差。

我们还是通过 ![\\mu =1.3,\\sigma =0.25][mu _1.3_sigma _0.25] 的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：可见，越远离平均值，概率越低。

![SouthEast][]

![20171226201639152][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![70][]

> ### 4. 线性回归推导回归系数（y=kx，y=kx+b） ###

参考博客[https://blog.csdn.net/u013820053/article/details/81358651][https_blog.csdn.net_u013820053_article_details_81358651]

线性回归实际上也是最小二乘问题，其对应的解法有两种：解析法和迭代法（梯度下降法）

**解析法推导——**

求解目标函数如下，其中XX为所有样本的所有特征，是一个M（M个样本）行N（N个特征）列的矩阵，Y是M个样本的真实值，是M行的列向量，ω是回归系数，是N行的列向量：

minJ(ω)=||Y−Xω||2

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

注：矩阵求导用到了分母布局，如果不清楚你可以看我的第一篇博客[https://blog.csdn.net/weixin\_43795395/article/details/84498269][https_blog.csdn.net_weixin_43795395_article_details_84498269]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

> ### 5. 甲乙两人约好在某地碰面，时间段为10点到11点。若甲先到，最多会等待10分钟，10分钟内乙未出现则离开；若乙先到，最多会等待15分钟，15分钟内甲未出现则离开，请问两人见面的概率是多少？ ###

几何概率的一道题目，高中数学知识。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

> ### 6. ABCDE5个人互相传球，由A开始第一次传球，经5次传球最后回到A的手上，其中A与B不会互相传球，C只会传给D，E不会传给C，共有多少种传球方法？ ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

> ### 7. 平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1？ ###

这个题目很有意思，参考博客： [https://blog.csdn.net/yahohi/article/details/7868668][https_blog.csdn.net_yahohi_article_details_7868668]

直观的感觉，每次取出的随机数的期望为0.5，那是不是平均取两个随机数和就会超过1. 答案是： NO！

正确答案应该为e。

#define NUM 9999999
     
    int main()
    {
     
    int sum=0;
    srand(time(NULL));
    for (int i=0;i<NUM;i++)
        {
        double val=0;
        while(val <1)
        {
            val+=(rand()/(double)RAND_MAX);
            sum++;
        }
        }
    printf("%f\n",sum/(double)NUM);
    return 0;
    }

为了证明这一点，让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积，因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地，三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：  
∫(0..1) (x^2)\*1/2 dx = 1/6。 或者实际上就等于二维的结果再乘以1/3,也就是 1/2 \* 1/3 = 1/6.

以此类推， 四个数的情况，和小于1的概率为 1/6 \* 1/4 = 1/24;

五个数概率为 1/24 \* 1/5 ......

**n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是  
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n! （第一部分为n个数和大于1的Prob，第二部分为n-1个数和大于1的Prob）  
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为  
 ∑(n=1~∞) n \* (n-1)/n! = ∑(n=0~∞) 1/n! = 1+1+1/2+1/6+..... = e**

**（这里是求期望的公式，原博客的这一步错误，我做了修改）**

**这里再贴一个常见泰勒展开公式，不然老是忘！**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

> ### 8. MLE、MAP和贝叶斯估计 ###

网上有很多介绍，看我列出的博客足以，参考博客：

最大似然估计(MLE)，最大后验概率估计（MAP），贝叶斯估计入门讲解

[https://blog.csdn.net/lsldd/article/details/84488678][https_blog.csdn.net_lsldd_article_details_84488678]

机器学习中的MLE、MAP和贝叶斯估计

[https://cloud.tencent.com/developer/news/219953][https_cloud.tencent.com_developer_news_219953]

详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

[https://blog.csdn.net/zdaiot/article/details/82912138][https_blog.csdn.net_zdaiot_article_details_82912138]

**这里做简要概述（参考第一篇博客）——**

**1. MLE：**

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20181125144046158.png]

**2. MAP：**

![P(θ|X) = P(θ|X)P(θ|X)][P_X_ _ P_X_P_X]  
上式的分母部分P(X)为已知的（称作**证据**），因此，我们只需要最大化分子部分：P(θ|X)P(θ)

**3. 贝叶斯估计 ：**

贝叶斯估计与上述两类估计方法最大的区别在于：该类方法并不求出参数θ的具体值，而是求出θ的概率分布模型。

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20181125161138325.png]

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20181125162710221.png]

其实这是因为P(θ)使用的先验模型——贝塔分布，与P(θ|X)使用的伯努利分布是**共轭**关系。正是这种共轭关系，使得伯努利分布乘以贝塔分布，其结果是一个新的贝塔分布。可以这样理解贝叶斯方法：  
（1）首先提出一个先验模型，该模型参数为θ；  
（2）通过结合实验数据，最终得到一个新的模型，该模型参数为θ\*。

**分析（参考第二篇博客）——**

*  最大似然估计被人诟病之处是估计存在bias，在某些极端情况下，是违反经验与直觉的,例如样本很少的时候我们的观测结果很可能出现偏差。最大后验概率估计可以有效地减弱这种bias，但是最大后验概率需要引入先验概率分布P(θ) P(θ)P(θ), 所以最大后验概率估计的效果，也取决于先验概率的设定，一个糟糕的先验概率将会导致一个糟糕的后验概率估计。
 *  贝叶斯估计和MAP挺像的，都是以最大化后验概率为目的。区别在于：1）极大似然估计和MAP都是只返回了的预估值，就完事了 2）MAP在计算后验概率的时候，把分母P(X) 给忽略了，在进行贝叶斯估计的时候则不能忽略 3）贝叶斯估计要计算整个后验概率的概率分布
 *  这里有一个技巧，对于一个特定的likehood，如果我们选择了一个先验概率分布，通过上面两个公式的计算，得出的后验概率和先验概率是同分布的，这时候我们说这个先验分布是共轭先验。
 *  贝叶斯估计相对于最大后验估计的好处还在于，贝叶斯估计计算了整个后验概率的分布，从而也能求出其他一些比如分布的方差之类的值来供参考，比如计算出来方差太大的，我们可以认为分布不够好，从而把这个当做选择超参数的一个考虑因素。实际上，贝叶斯估计会比MAP把估计的结果往先验结果“拉”的程度还提高了一些，从而使估计结果更靠近先验结果。

**找到了一篇更好的知乎上的回答——**

聊一聊机器学习的MLE和MAP：最大似然估计和最大后验估计 [https://zhuanlan.zhihu.com/p/32480810][https_zhuanlan.zhihu.com_p_32480810]

> ### 9. MLE，MAP，EM 和 point estimation 之间的关系是怎样的？ ###

简书上的一篇文章： [https://www.jianshu.com/p/2fc4a90d7e59][https_www.jianshu.com_p_2fc4a90d7e59]

这个问题在知乎上被问过，所以这里把知乎上赞最多的答案搬上来——

[https://www.zhihu.com/question/19894595/answer/13309335][https_www.zhihu.com_question_19894595_answer_13309335]

看完这两篇介绍，我想这个问题已经讨论的比较深入了，接下来你可以用自己的话再精炼一下。

**最大似然估计（MLE）和最小均方误差估计（MMSE）都属于点估计的estimator，前者使用了似然（Likelihood）的概念；最大后验概率估计（MAP）也一样，只是它是一种贝叶斯统计/贝叶斯点估计视角下的estimator，引入了贝叶斯定理、先/后验概率的概念。**

> ### 10. 如何求解Ax=b (非迭代Cholesky分解、QR分解，迭代) ###

找到两篇关于Eigen库求解线性方程组的博客——

Eigen解线性方程组

[https://blog.csdn.net/u013354805/article/details/48250547][https_blog.csdn.net_u013354805_article_details_48250547]

使用Eigen解Ax=b线性方程组

[https://blog.csdn.net/hanshihao1336295654/article/details/83512082][https_blog.csdn.net_hanshihao1336295654_article_details_83512082]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hhbnNoaWhhbzEzMzYyOTU2NTQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**转自第一篇博客——**

矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。

*  LU三角分解：三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵　或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为\[L,U\]=lu(A)。
 *  QR分解：QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为\[Q,R\]=qr(A)。
 *  奇异值分解：奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。\[U,S,V\]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为\[S,V,D\]=svd(A)。
 *  LLT分解：A=LL^TCholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的（LU三角分解法的变形）。
 *  LDLT分解法：若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子阵均不为零，则A有如下惟一的分解形式：A=LDL^T其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆为零），L^T为L的转置矩阵。LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进，因为Cholesky分解法虽然不需要选主元，但其运算过程中涉及到开方问题，而LDLT分解法则避免了这一问题，可用于求解线性方程组。

**一篇关于矩阵分解讲的比较好的博客 ： [https://blog.csdn.net/lixujie666/article/details/85010089][https_blog.csdn.net_lixujie666_article_details_85010089]**

> ### 11. 最小二乘封闭解与迭代解的取舍 ###

请转至 上面的问题： 线性回归推导回归系数。

> ### 12. 梯度下降法、牛顿法、GN、LM，推导、优缺点 ###

请转至，我的博客： SLAM / 3D Vision求职专题 | SLAM知识篇（D2） 问题四

[https://blog.csdn.net/weixin\_43795395/article/details/89916031][https_blog.csdn.net_weixin_43795395_article_details_89916031]

> ### 13. 如何判断点在多边形内 ###

有三种方法可以实现：扫描法（适合任意多边形）； 叉乘判断法（适合凸多边形）；角度和判断法（适合任意多边形）

完整你可以参考[https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81737178][https_blog.csdn.net_zhouzi2018_article_details_81737178]

如果没时间，只看一种，那就是[https://blog.csdn.net/u012138730/article/details/79927778][https_blog.csdn.net_u012138730_article_details_79927778]。

以下来自于第二篇博客——

**思路：**  
过这一点向右做一条水平射线，看这射线和多边形的几条边有交点。如果边的条数为奇数则说明点在多边形内。

（也可过这点向左，向上，向下做一条射线）

**具体：**  
对每一条边和点进行如下判断，看是否满足下面两个条件，若均满足，则定义此边和射线有交点。设边为vj->vi，点为 pt ：

1）点pt 的纵坐标是否满足式子： (vi\[1\] > pt\[1\]) != (vj\[1\] > pt\[1\])

即 pt 纵坐标是否满足\[vj\[1\], vi\[1\])，如果 vj\[1\] > vi\[1\]，那么\[vi\[1\], vj\[1\]) ，即是否满足低闭高开。

2）再判断点pt 是否在 边所在的直线的 左边。

列出边的标准方程 x = ky + b ，把 pt的纵坐标带入，得到x的值， 如果是大于 pt 的横坐标，那么说明 点pt 在边所在的直线的 左边。【不需要考虑 y = b 的水平线的方程，因为如果边是水平线 和 点 在同一条直线上，上面的第一个条件就不满足】

如下图 有三个特殊点pt1 pt2 pt3，根据上面判断方法，均能正确得到在多边形内的结论，即满足条件的边为奇数个。

![20180413133943129][]

pt0是一个正常点， 满足条件的边为v0v1 v1v2 v2v3，3条。

pt1是一个特殊点，满足条件的边为v0v1 v1v2 v2v3，3条。pt1与v1点在同一条水平线上，v0v1 和 v1v2 均满足第一个条件（一个等于，一个大于，低闭高开），v2v3正常满足。

pt2是一个特殊点，满足条件的边为v2v3，1条。pt2与v3点 v4点在同一条水平线上，v3v4不满足第一个条件（均等于），v4v5不满足第一个条件（一个等于，一个小于）。

pt3是一个特殊点，满足条件的边为v4v5，1条。pt3与v5点在同一条水平线上，v5v6不满足第一个条件（一个等于，一个小于）。  
\---------------------  
作者：ivy\_0709  
原文：https://blog.csdn.net/u012138730/article/details/79927778

**代码实现——**

/// All points are projected onto the xz-plane, so the y-values are ignored.
    bool dtPointInPolygon(const float* pt, const float* verts, const int nverts)
    {
    	// TODO: Replace pnpoly with triArea2D tests?
    	int i, j;
    	bool c = false;
    	for (i = 0, j = nverts-1; i < nverts; j = i++)
    	{
    		const float* vi = &verts[i*3];
    		const float* vj = &verts[j*3];
    		if (((vi[2] > pt[2]) != (vj[2] > pt[2])) &&
    			(pt[0] < (vj[0]-vi[0]) * (pt[2]-vi[2]) / (vj[2]-vi[2]) + vi[0]) )
    			c = !c;
    	}
    	return c;
    }

> ### 14. 一阶、二阶优化，Jacobian、hessian矩阵 ###

以最小二乘问题为例，

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

> ### 15. 1000个数的阶乘，求有多少个0 ###

*  5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100...1000 1000 / 5 = 200 5的倍数 1个0

这些数和任意的偶数相乘，结尾就会产生0

*  5\*5 5\*5\*2 5\*5\*3 5\*5\*4 5\*5\*5 5\*5\*6 5\*5\*7 5\*5\*8 5\*5\*9 5\*5\*10...5\*5\*40 1000 / 25 = 40 25的倍数 2个0

第一次将会产生一个零的都统计了，但还有些数会产生两个0，去掉1个0还剩1个0.

*  5\*5\*5 5\*5\*5\*2 5\*5\*5\*3 5\*5\*5\*4 5\*5\*5\*5 5\*5\*5\*6 5\*5\*5\*7 5\*5\*5\*8 1000 / 125 = 8 125的倍数 3个0

去掉2个0还剩1个0.

*  5\*5\*5\*5 1000 / 625 = 1 625的倍数 4个0

去掉3个0还剩1个0.

**总的个数为 = 200 + 40 + 8 + 1 = 249**

如果用代码来实现上面的思路：

#include <iostream>
    #include <stdio.h>
    using namespace std;
    int main()
    {
        long total;
        long Integer;
        long i;
        scanf("%ld", &total);
         long count = 0;
         int flag = 0;
        for (i = 5; i <= total; i++)
        {
            Integer = i;
            flag = Integer % 5;
            while(flag==0)
            {
                Integer = Integer / 5;
                flag = Integer % 5;
                count = count + 1;
            }
     
        }
        printf("%ld\n", count);
        return 0;
    }
    
    --------------------- 
    原文：https://blog.csdn.net/yahohi/article/details/7528803

> ### 16. 递推法求数学期望，反证法，数学归纳法等 ###

此题略。

--------------------

写博不易，您的支持让知识之花绽放得更美丽 ~\_~

![20190514202538815.png][]

[https_blog.csdn.net_weixin_43795395_article_details_89600060]: https://blog.csdn.net/weixin_43795395/article/details/89600060
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[P_X-_mu _ _geq k_sigma _ _leq _frac1_k_2]: https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%7CX-%5Cmu+%7C+%5Cgeq+k%5Csigma+%29+%5Cleq+%5Cfrac1%7Bk%5E2%7D%5C%5C
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