三种求平方根的算法——C/C++

Myth丶恋晨 2022-01-21 11:25 440阅读 0赞

## 1、二分法 ##

这种是最简单的，就是定义一个最小值0和最大值number，把一个数取一个中间值（0+number）/2，然后平方，如果平方大于该数值，就把中间值赋给最大值，否者就把中间值赋给最小值，一直循环，直到取到想要的精度为止  
代码如下：

//二分法 
    double sqrt1(double x){
        
    	double EPSINON = 0.00001;
    	double low = 0.0;
    	double high = x;
    	double mid = (low + high) / 2;
    	while ((high - low) > EPSINON){
        
    		if (mid*mid > x){
        
    			high = mid;
    		}
    		else{
        
    			low = mid;
    		}
    		mid = (high + low) / 2;
    	}
    	return mid;
    }

## 2、牛顿迭代法 ##

![在这里插入图片描述][20190610000053201.png]  
这个也是有迹可循的，求平方根即x^2=n。  
令f(x)=x^2-n  
如图所示：  
取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。  
同理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。  
以此类推。  
以这样的方式得到的 xi 会无限趋近于 f(x)=0 的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两个步骤：

*  计算 f(xi) 的值，判断是否为 0
 *  判断前后两个解 xi 和 xi-1 是否无限接近。

**（1）先**  
(f(x)-f(xi))/(x-xi)=f’(x)，f’(x)是斜率也是f(x)的导函数，即f’(x)=2x。  
化简得：f(xi)=f(x)-f’(x)(x-xi)，令f(xi)=0得：

> (x^2-n)-2x(x-xi)=0

持续化简得：

> x^2 - n - 2x^2 + 2xxi=0  
> 2*x*xi=x^2 + n  
> 2xi=x+n/x  
> xi=(x+n/x)/2

**（2）再采用第二种方法判断**  
这样就得到了一元等式，就可以进行编程了。

//牛顿迭代法 
    double sqrt2(double x) {
        
        if (x == 0) {
        
        	return 0;
        }
        double last = 0.0;
        double res = 1.0;
        while (res != last) {
        
            last = res;
            res = (res + x / res) / 2;
        }
        return res;
    }

## 3、神秘代码 ##

网上说出自Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一，作为游戏引擎算法。  
直接上代码，我也不是很懂。

//神奇代码 
    double sqrt3(double x) {
         
    	//float后加f转换成double类型
        if(x == 0) return 0; 
        float result = x; 
        float xhalf = 0.5f*result; 
        int i = *(int*)&result; 
        
        // what the fuck? 
        i = 0x5f3759df - (i>>1); 
        result = *(float*)&i; 
        result = result*(1.5f-xhalf*result*result);
        result = result*(1.5f-xhalf*result*result); 
        return 1.0f/result; 
    }

**中心思想是二分法，但是搞不懂为何求倒和0x5f3759df，为什么what the fuck? ，更加准确的是0x5f375a86。。。。**

**运行结果，多方面比较，采用C/C++的\#include<math.h>库，引用sqrt对比**

#include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>
    
    double sqrt1(double x);
    double sqrt2(double x);
    double sqrt3(double x);
    
    int main() {
        
    	const int count = 1000;		//测试次数 
    	double test = 0.0;
    	printf("sqrt\t\tsqrt1\t\tsqrt2\t\tsqrt3\n");
    	for (int i = 0; i < count; i++) {
        
    		test = rand() % 10000;
    		double s = sqrt(test);
    		double s1 = sqrt1(test);
    		double s2 = sqrt2(test);
    		double s3 = sqrt3(test);
    		printf("%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n", s, s1, s2, s3);
    	}
    	return 0;
    }

## 总结 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEwOTAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

1、准确性  
<math.h>的求平方根和牛顿迭代法一样

2、耗时  
<math.h>的求平方根最短，可能直接底层运算吧。

[20190610000053201.png]: /images/20220121/6e71d7b295bb4d3daca6fab7f3db3ec6.png
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