CF1137F Matches Are Not a Child's Play（树链剖分）

叁歲伎倆 2022-01-12 09:37 109阅读 0赞

## 题面 ##

我们定义一棵树的删除序列为：每一次将树中编号最小的叶子删掉，将该节点编号加入到当前序列的最末端，最后只剩下一个节点时将该节点的编号加入到结尾。

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例如对于上图中的树，它的删除序列为：2 4 3 1 5

现在给出一棵\\(n\\)个节点的树，有\\(m\\)次操作：

\\(up\\) \\(v\\)：将\\(v\\)号节点的编号变为当前所有节点编号的\\(\\max + 1\\)

\\(when\\) \\(v\\)：查询\\(v\\)在当前树的删除序列中是第几号元素

\\(compare\\) \\(u\\) \\(v\\)：查询\\(u\\)和\\(v\\)在当前树的删除序列中谁更靠前

## 题解 ##

放火烧山，牢底坐穿

首先我们考虑一下，设当前树上优先度最高的点为\\(u\\)，此时一个\\(up\\)操作，使得\\(v\\)成为了优先度最高的点，那么这棵树烧起来的时候会发生什么事

首先\\(uv\\)之间这条路肯定会最后才烧着，而且是从\\(u\\)烧到\\(v\\)，而其它所有节点烧的相对顺序都是不变的

那么可以理解为，我们定义一个时间戳\\(tim\\)，每次\\(up\\)操作的时候\\(++tim\\)，并记录一下这个时间戳路径的起点\\(u\\)，然后把\\(uv\\)路径上全都覆盖上这个时间戳。那么，一个节点第几个被烧呢？显然就是所有时间戳小于它的点的点数，再加上它到自己时间戳的起点\\(u\\)的距离

每一次都是区间覆盖，有没有让你想到什么呢？

对，这很像珂朵莉树。我们可以先树剖，对于每一条重链，维护一个\\(set\\)，\\(set\\)里维护这条重链上的颜色区间。那么一次区间覆盖只要把旧的区间删去，并加入新的区间就行了。不过因为要维护每种颜色的点的个数，所以我们可能还需要用一个树状数组，再删除和插入区间的时候维护一下点的个数

还有个问题是我们需要算出一开始的答案，直接把每个点暴力\\(up\\)就行了

虽然说着像珂朵莉树不过这里的复杂度应该是严格的。每一次路径修改会被拆成\\(O(\\log n)\\)个区间，每个被拆出来的区间最多插入一次删除一次。以及我们中间有可能需要把一个区间拆成两半，一次是询问的时候要把一个点拆出来看看它的时间戳是啥，那么这一部分拆出的区间总数是\\(O(n)\\)的。还有就是我们插入区间的时候有可能会拆掉区间，不过这种情况下拆出的区间最多一个，所以一次路径覆盖最多会拆出\\(O(\\log n)\\)的区间，和前面的复杂度相同，再加上\\(set\\)和树状数组，时间复杂度应该是\\(O(n\\log^2 n)\\)（大概没算错？）

//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define IT set<node>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;} using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } int read(char *s){ R int len=0;R char ch;while(((ch=getc())>'z'||ch<'a')); for(s[++len]=ch;(ch=getc())>='a'&&ch<='z';s[++len]=ch); return s[len+1]='\0',len; } char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){ if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x; while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int N=5e5+5; struct node{ int l,r,c; node(){} node(R int ll,R int rr=-1,R int cc=N){l=ll,r=rr,c=cc;} inline bool operator <(const node &b)const{return l<b.l;} };set<node>pool[N],*s[N]; struct eg{int v,nx;}e[N<<1];int head[N],tot;char t[25]; int dfn[N],sz[N],son[N],fa[N],top[N],dep[N],bg[N],c[N],mx[N]; int n,m,cnt,tim,las; inline void add(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;} inline void upd(R int x,R int y){for(;x<N;x+=x&-x)c[x]+=y;} inline int ask(R int x){R int res=0;for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];return res;} IT split(set<node> *s,int pos){ IT it=s->lower_bound(node(pos)); if(it!=s->end()&&it->l==pos)return it; --it;int l=it->l,r=it->r,c=it->c; s->erase(it),s->insert(node(l,pos-1,c)); return s->insert(node(pos,r,c)).first; } void ins(set<node> *s,int l,int r,int c){ IT itr=split(s,r+1),itl=split(s,l); for(IT it=itl;it!=itr;++it)upd(it->c,-(it->r-it->l+1)); upd(c,r-l+1); s->erase(itl,itr),s->insert(node(l,r,c)); } void dfs1(int u){ sz[u]=1,dep[u]=dep[fa[u]]+1; go(u)if(v!=fa[u]){ fa[v]=u,dfs1(v),sz[u]+=sz[v]; sz[v]>sz[son[u]]?son[u]=v:0; } } void dfs2(int u,int t){ top[u]=t,mx[u]=dfn[u]=++cnt; if(son[u])dfs2(son[u],t),cmax(mx[u],mx[son[u]]); if(u==t)s[u]=&pool[u],s[u]->insert(node(dfn[u],mx[u]+1)); go(u)if(!top[v])dfs2(v,v); } int LCA(int u,int v){ while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v); u=fa[top[u]]; } return dep[u]<dep[v]?u:v; } inline int dis(R int u,R int v){return dep[u]+dep[v]-(dep[LCA(u,v)]<<1)+1;} void update(int u,int v){ bg[++tim]=u; while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v); ins(s[top[u]],dfn[top[u]],dfn[u],tim); u=fa[top[u]]; } if(dep[u]>dep[v])swap(u,v); ins(s[top[u]],dfn[u],dfn[v],tim); } int query(int u){ int c=split(s[top[u]],dfn[u])->c; return ask(c-1)+dis(u,bg[c]); } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); n=read(),m=read(); for(R int i=1,u,v;i<n;++i)u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u); dfs1(1),dfs2(1,1),las=n; fp(i,1,n-1)update(i,i+1); for(R int T=1,u,v;T<=m;++T){ read(t),u=read(),t[1]=='c'?v=read():0; switch(t[1]){ case 'u':update(las,u),las=u;break; case 'w':print(query(u));break; case 'c':print(query(u)<query(v)?u:v);break; } } return Ot(),0; }

upd：为了卡常改了改代码，下面这份已经不能看了（然而还是被写\\(LCT\\)的聚聚们吊起来打）

下面这个加了一点优化，具体就是

1.一开始的时候不暴力\\(up\\)，从大到小染色，那么每个点最多只会被染色一次

2.区间推倒……啊呸推平的时候判一下左右端点是不是刚好卡到边界（不过并没有什么卵用就是了）

//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define IT set<node>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;} using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } inline char getop(){R char ch;while((ch=getc())>'z'||ch<'a');return ch;} char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){ if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x; while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int N=5e5+5; struct node{ int l,r,c; node(){} node(R int ll,R int rr=-1,R int cc=N){l=ll,r=rr,c=cc;} inline bool operator <(const node &b)const{return l<b.l;} };set<node>pool[N],*s[N]; struct eg{int v,nx;}e[N<<1];int head[N],tot;char op; int dfn[N],sz[N],son[N],fa[N],top[N],dep[N],bg[N],c[N],mx[N],ga[N],col[N]; int n,m,cnt,tim,las,lim,num; inline void add(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;} inline void upd(R int x,R int y){for(;x<lim;x+=x&-x)c[x]+=y;} inline int ask(R int x){R int res=0;for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];return res;} inline int find(int x){return ga[x]==x?x:ga[x]=find(ga[x]);} inline set<node> *newnode(){return &pool[++num];} IT split(set<node> *s,int pos){ IT it=s->lower_bound(node(pos)); if(it!=s->end()&&it->l==pos)return it; --it;int l=it->l,r=it->r,c=it->c; s->erase(it),s->insert(node(l,pos-1,c)); return s->insert(node(pos,r,c)).first; } void ins(set<node> *s,int l,int r,int id,int c){ upd(c,r-l+1); if(l==dfn[id]&&r==mx[id]){ for(IT it=s->begin();it!=s->end();++it)upd(it->c,-(it->r-it->l+1)); s->erase(s->begin(),s->end()),s->insert(node(l,r,c)); return; } if(l==dfn[id]){ IT itr=split(s,r+1); for(IT it=s->begin();it!=itr;++it)upd(it->c,-(it->r-it->l+1)); s->erase(s->begin(),itr),s->insert(node(l,r,c)); return; } if(r==mx[id]){ IT itl=split(s,l); for(IT it=itl;it!=s->end();++it)upd(it->c,-(it->r-it->l+1)); s->erase(itl,s->end()),s->insert(node(l,r,c)); return; } IT itr=split(s,r+1),itl=split(s,l); for(IT it=itl;it!=itr;++it)upd(it->c,-(it->r-it->l+1)); s->erase(itl,itr),s->insert(node(l,r,c)); } void dfs1(int u){ sz[u]=1,dep[u]=dep[fa[u]]+1; go(u)if(v!=fa[u]){ fa[v]=u,dfs1(v),sz[u]+=sz[v]; sz[v]>sz[son[u]]?son[u]=v:0; } } void dfs2(int u,int t){ top[u]=t,mx[u]=dfn[u]=++cnt; if(son[u])dfs2(son[u],t),cmax(mx[u],mx[son[u]]); if(u==t)s[u]=newnode(); go(u)if(!top[v])dfs2(v,v); } void dfs3(int u,int t,int mn){ if(!son[u]||col[son[u]]!=col[mn])s[t]->insert(node(dfn[mn],dfn[u],col[u])),upd(col[u],dfn[u]-dfn[mn]+1); if(son[u])dfs3(son[u],t,col[mn]==col[son[u]]?mn:son[u]); go(u)if(v!=fa[u]&&v!=son[u])dfs3(v,v,v); } int LCA(int u,int v){ while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v); u=fa[top[u]]; } return dep[u]<dep[v]?u:v; } inline int dis(R int u,R int v){return dep[u]+dep[v]-(dep[LCA(u,v)]<<1)+1;} void update(int u,int v){ bg[++tim]=u; while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v); ins(s[top[u]],dfn[top[u]],dfn[u],top[u],tim); u=fa[top[u]]; } if(dep[u]>dep[v])swap(u,v); ins(s[top[u]],dfn[u],dfn[v],top[u],tim); } int query(int u){ int c=split(s[top[u]],dfn[u])->c; return ask(c-1)+dis(u,bg[c]); } void build(int u,int v,int c){ int lca=LCA(u,v); bg[c]=u,u=find(u),v=find(v); while(u!=v){ if(dep[u]<dep[v])swap(u,v); col[u]=c,ga[u]=find(fa[u]),u=ga[u]; } if(!u)return; u==lca?(col[u]=c,ga[u]=find(fa[u])):0; } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); n=read(),m=read(),lim=n+m; for(R int i=1,u,v;i<n;++i)u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u); dfs1(1),dfs2(1,1),las=tim=n; fp(i,1,n){ ga[i]=i; if(son[fa[i]]!=i)s[i]=&pool[i]; } fd(i,n-1,1)build(i,i+1,i+1); dfs3(1,1,1); for(R int T=1,u,v;T<=m;++T){ op=getop(),u=read(),op=='c'?v=read():0; switch(op){ case 'u':update(las,u),las=u;break; case 'w':print(query(u));break; case 'c':print(query(u)<query(v)?u:v);break; } } return Ot(),0; }

转载于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10537308.html

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