数据结构与算法之时间复杂度详解

朱雀 2022-01-11 08:11 229阅读 0赞

# 数据结构与算法之时间复杂度详解 #

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## 目录 ##

1.  排序算法的介绍和分类
2.  算法的时间复杂度概念
3.  常见的时间复杂度解析
4.  平均时间复杂度和最坏时间复杂度
5.  空间复杂度介绍

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### 1. 排序算法的介绍和分类 ###

1.  排序算法的介绍  
    排序也称排序算法(SortAlgorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。
2.  排序的分类：
    
    1.  内部排序：  
        指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器（内存）中进行排序。
    2.  外部排序法：  
        数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储（文件等）进行排序。
    3.  常见的排序算法分类（见下图）：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

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### 2. 算法的时间复杂度概念 ###

##### 1. 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法 #####

1. 事后统计的方法

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2. 事前估算的方法

通过分析某个算法的`时间复杂度`来判断哪个算法更优。

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##### 2. 时间频率 #####

1.  基本介绍  
    时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.  举例  
    比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

![在这里插入图片描述][20190620112627966.png]

1.  时间频率之忽略常数项  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    结论:

1.  2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
2.  3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

1.  时间频率之忽略低次项  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
    结论:

1.  2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2.  n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

1.  时间频率之忽略系数  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

结论:

1.  随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
2.  而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

##### 3. 时间复杂度 #####

1.  一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复度，简称时间复杂度。
2.  T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
3.  计算时间复杂度的方法：
    
     *  用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
     *  修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
     *  去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

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### 3. 常见的时间复杂度解析 ###

1.  常数阶O(1)
2.  对数阶O(log2n)
3.  线性阶O(n)
4.  线性对数阶O(nlog2n)
5.  平方阶O(n^2)
6.  立方阶O(n^3)
7.  k次方阶O(n^k)
8.  指数阶O(2^n)

说明：

1.  常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
2.  从下图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

##### 常见时间复杂度详解 #####

1.  常数阶O(1)  
    无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)  
    ![在这里插入图片描述][2019062011410827.png]  
    上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2.  对数阶O(log2n)  
    ![在这里插入图片描述][20190620114214389.png]  
    说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i \* 3 ，则是 O(log3n)
3.  线性阶O(n)  
    ![在这里插入图片描述][20190620114339236.png]  
    说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
4.  线性对数阶O(nlogN)  
    ![在这里插入图片描述][20190620114450874.png]  
    说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n \* O(logN)，也就是了O(nlogN)
5.  平方阶O(n²)  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
    说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

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### 平均时间复杂度和最坏时间复杂度 ###

1.  平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2.  最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3.  平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图)。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTkxMDY5NA_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

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### 5. 空间复杂度介绍 ###

1.  类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2.  空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
3.  在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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