『分块算法初步』

左手的ㄟ右手 2022-01-09 22:07 252阅读 0赞

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## 分块 ##

> 分块查找是折半查找和顺序查找的一种改进方法，分块查找由于只要求索引表是有序的，对块内节点没有排序要求，因此特别适合于节点动态变化的情况。

分块其实可以说是一种偏数据结构类的通用型算法吧，没有很艰深的内容，与暴力最为相似，但是在很多题目中都能派上很好的用场。

我们可以先通过一道模板例题来了解分块。

### Description ###

给出一个长为\\(n\\)的数列，以及\\(n\\)个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

### Solution ###

这道题当然可以用树状数组，线段树等经典的数据结构来解决，我们现在来谈一谈分块的做法。

分块就是讲原本序列中的n个数"打包"分为\\(sqrt(n)\\)个块，对于区间的操作，我们可以对每一个块进行标记处理，等到查询时再检查是否有更新记录，利用类似于这样的思想来优化时间复杂度。

具体的，我们可以这样做。

> 1.使\\(t=sqrt(n)\\)，将原序列分为\\(t\\)个块，其中，第\\(i\\)个块的覆盖范围为\\(\[(i-1)\*t+1,i\*t\]\\)  
> 2.对于最后剩下不完全的部分，额外的分一个块，其范围为\\(\[n-\\lfloor\{\\frac\{n\}\{t\}\}\\rfloor\*t+1,n\]\\)  
> 3.预处理一个数组\\(pos\[i\]\\)，代表第\\(i\\)个元素所在块的下标  
> 4.对于区间加法操作，区间包含的部分一定为若干个完整的块(可能\\(0\\)个)和至多两个不完整的块，对于不完整的块，我们可以暴力扫描进行加法更新，对于完整的块\\(i\\)，我们可以令\\(changed\[i\]+=delta\\)，表示第i个块有一个整体的\\(+delta\\)更新操作，先记录下来。  
> 5.对于查询操作，我们可以直接返回\\(a\[x\]+change\[pos\[x\]\]\\)。

这就是分块算法的基本流程，引用\\(lyd\\)大佬一句话来形容，就是**大段维护，局部朴素**，可以认为是暴力的优化，具有较好的直观性，代码量不长，容易拓展。

\\(Code:\\)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400; int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N]; long long changed[sqrtN],a[N]; inline void input(void) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); } inline void init(void) { t=sqrt(n); for(int i=1;i<=t;i++) { L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1; R[i]=i*sqrt(n); } if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n; for(int i=1;i<=t;i++) for(int j=L[i];j<=R[i];j++) pos[j]=i; } inline void change(int l,int r,long long delta) { int p=pos[l],q=pos[r]; if(p==q) for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta; else { for(int i=p+1;i<=q-1;i++) changed[i]+=delta; for(int i=l;i<=R[p];i++) a[i]+=delta; for(int i=L[q];i<=r;i++) a[i]+=delta; } } inline long long ask(int x) { return a[x]+changed[pos[x]]; } inline void solve(void) { int index,l,r;long long delta; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta); if(!index) change(l,r,delta); else printf("%lld\n",ask(r)); } } int main(void) { input(); init(); solve(); return 0; }

### Description ###

给出一个长为\\(n\\)的数列，以及\\(n\\)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值\\(x\\)的元素个数。

### Solution ###

这道题就是分块算法的简单拓展，对原来算法进行简单的改进就可以解决该问题。

除了增量标记外，每一个块我们额外维护一个有序序列。用\\(vector\\)储存每一个块的有序序列并直接利用\\(sort\\)排序即可。

对于区间加法，整块的部分直接累加增量标记，非整块的部分暴力修改单点权值，并对部分修改的块重置有序序列即可。  
对于查询，整块的部分直接二分查找有序序列中大小第一个大于等于\\(c\*c-change\[i\]\\)的部分，数量即为该位置减掉数组首地址，累加每一个整块的数量即可，非整块的部分暴力统计即可累加答案。

\\(Code:\\)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=50000+200,M=50000+200,sqrtN=300; int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N]; int changed[sqrtN],a[N]; vector < int > section[sqrtN]; inline void input(void) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); } inline void reset(int x) { section[x].clear(); for(int i=L[x];i<=R[x];i++) section[x].push_back(a[i]); sort(section[x].begin(),section[x].end()); } inline void init(void) { t=sqrt(n); for(int i=1;i<=t;i++) { L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1; R[i]=i*sqrt(n); } if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n; for(int i=1;i<=t;i++) for(int j=L[i];j<=R[i];j++) pos[j]=i; for(int i=1;i<=t;i++) reset(i); } inline void change(int l,int r,int delta) { int p=pos[l],q=pos[r]; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++) a[i]+=delta; reset(p); } else { for(int i=l;i<=R[p];i++) a[i]+=delta; reset(p); for(int i=L[q];i<=r;i++) a[i]+=delta; reset(q); for(int i=p+1;i<=q-1;i++) changed[i]+=delta; } } inline int ask(int l,int r,int limit) { int p=pos[l],q=pos[r]; int ans=0; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++) if(a[i]+changed[p]<limit)ans++; } else { for(int i=l;i<=R[p];i++) if(a[i]+changed[p]<limit)ans++; for(int i=L[q];i<=r;i++) if(a[i]+changed[q]<limit)ans++; for(int i=p+1;i<=q-1;i++) ans+=lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin(); } return ans; } inline void solve(void) { int l,r,index;int delta; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d%d",&index,&l,&r,&delta); if(!index) change(l,r,delta); else printf("%d\n",ask(l,r,delta*delta)); } } int main(void) { input(); init(); solve(); return 0; }

### Description ###

给出一个长为\\(n\\)的数列，以及\\(n\\)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值\\(x\\)的前驱（比其小的最大元素）。

### Solution ###

这道题其实和第二题类似，也是维护每一个块的区间有序性，前驱直接二分查找即可。

\\(Code:\\)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100000+200,sqrtN=400; const long long INF=LONG_LONG_MAX; int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N]; long long changed[sqrtN],a[N]; vector < long long > section[sqrtN]; inline void input(void) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); } inline void reset(int x) { section[x].clear(); for(int i=L[x];i<=R[x];i++) section[pos[i]].push_back(a[i]); sort(section[x].begin(),section[x].end()); } inline void init(void) { t=sqrt(n); for(int i=1;i<=t;i++) { L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1; R[i]=i*sqrt(n); } if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n; for(int i=1;i<=t;i++) for(int j=L[i];j<=R[i];j++) pos[j]=i; for(int i=1;i<=t;i++) reset(i); } inline void change(int l,int r,long long delta) { int p=pos[l],q=pos[r]; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++) a[i]+=delta; reset(p); } else { for(int i=l;i<=R[p];i++) a[i]+=delta; reset(p); for(int i=L[q];i<=r;i++) a[i]+=delta; reset(q); for(int i=p+1;i<=q-1;i++) changed[i]+=delta; } } inline void updata(long long &ans,long long val,long long limit) { if(val<limit&&val>ans)ans=val; } inline long long ask(int l,int r,long long limit) { int p=pos[l],q=pos[r]; long long ans=-1; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++) updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit); } else { for(int i=l;i<=R[p];i++) updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit); for(int i=L[q];i<=r;i++) updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit); for(int i=p+1;i<=q-1;i++) updata(ans,section[i][lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin()-1]+changed[i],limit); } return ans; } inline void solve(void) { int l,r,index;long long delta; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta); if(!index) change(l,r,delta); else printf("%lld\n",ask(l,r,delta)); } } int main(void) { input(); init(); solve(); return 0; }

### Description ###

给出一个长为\\(n\\)的数列，以及\\(n\\)个操作，操作涉及区间加法，区间求和。

### Solution ###

这道题的拓展也是比较典型的。我们只需要再维护每一块的权值和就可以快速的解决查询问题，对于权值和的更新，只需要对每一次加法操作是进行顺带更新即可。

\\(Code:\\)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400; int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N]; long long changed[sqrtN],sum[sqrtN],a[N]; inline void input(void) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); } inline void init(void) { t=sqrt(n); for(int i=1;i<=t;i++) { L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1; R[i]=i*sqrt(n); } if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n; for(int i=1;i<=t;i++) for(int j=L[i];j<=R[i];j++) pos[j]=i,sum[i]+=a[j]; } inline void change(int l,int r,long long delta) { int p=pos[l],q=pos[r]; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta; sum[p]+=delta*(r-l+1); } else { for(int i=p+1;i<=q-1;i++) changed[i]+=delta; for(int i=l;i<=R[p];i++) a[i]+=delta; sum[p]+=delta*(R[p]-l+1); for(int i=L[q];i<=r;i++) a[i]+=delta; sum[q]+=delta*(r-L[q]+1); } } inline long long ask(int l,int r,long long mod) { int p=pos[l],q=pos[r]; long long ans=0; if(p==q) { for(int i=l;i<=r;i++)ans+=a[i]; ans+=changed[p]*(r-l+1); ans%=mod; } else { for(int i=p+1;i<=q-1;i++) ans+=sum[i]+changed[i]*(R[i]-L[i]+1),ans%=mod; for(int i=l;i<=R[p];i++) ans+=a[i],ans%=mod; ans+=changed[p]*(R[p]-l+1),ans%=mod; for(int i=L[q];i<=r;i++) ans+=a[i],ans%=mod; ans+=changed[q]*(r-L[q]+1),ans%=mod; } return ans; } inline void solve(void) { int l,r,index;long long delta; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta); if(!index) change(l,r,delta); else printf("%lld\n",ask(l,r,delta+1)%(delta+1)); } } int main(void) { input(); init(); solve(); return 0; }

## 总结 ##

分块算法可以说是一种优雅的暴力优化，在处理区间问题上有很大的帮助，通过对几道例题的认识，我们可以归纳得到如下要点：

*  是否可以用分块算法？区间问题，具有整体维护的可行性
 *  使用分块算法需要考虑的问题？1.如何预处理 2.如何处理不完整的块 3.如何维护完整的块

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转载于:https://www.cnblogs.com/Parsnip/p/10458689.html