证明积累

悠悠 2022-01-08 00:23 420阅读 0赞

*  前言
 *  正文
    
     *  1.\\(\\sum\_\{i=1\}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\}\\)
     *  2.\\(\\sum\_\{i=1\}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\\frac\{a^\{n+1\}-a\}\{a-1\}\\)
     *  3. \\(1^3+2^3+...+n^3=\\sum\_\{i=1\}^ni^3=(\\frac\{(1+n)n\}\{2\})^2\\)
     *  4. \\(f\_n=f\_\{n-1\}+f\_\{n-2\},f\_1+....+f\_n=\\sum\_\{i=1\}^nf\_i=f\_\{n+2\}-f\_2\\)
     *  5. \\(f\_n=f\_\{n-1\}+f\_\{n-2\},f\_1+f\_3+f\_5+...+f\_n=f\_1+f\_\{n+1\}-f\_2\\)
     *  6. \\(f\_n=f\_\{n-1\}+f\_\{n-2\},f\_2+f\_4+...+f\_n=f\_\{n+1\}-f\_2+f\_0\\)

## 前言 ##

此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处，便于需要之时快速查询，以及方便各位高人。

## 正文 ##

### 1.\\(\\sum\_\{i=1\}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\}\\) ###

证明：

法一：构造等差数列

注意到\\(n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)=3n^2-3n+1\\),而一次的等差数列我们又很好求，于是考虑以此等差,把\\(1-i\\)带入该式，并为了方便设\\(S=\\sum\_\{i=1\}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\\),于是有：

\\\[1^3-0^3=3\\times1^2-3\\times 1+1\\\]  
\\\[2^3-1^3=3\\times2^2-3\\times 2+1\\\]  
\\\[3^3-2^3=3\\times3^3-3\\times 3+1\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[n^3-(n-1)^3=3\\times n^3-3\\times n+1\\\]

累加即有

\\\[n^3=3S-3\\frac\{n(n+1)\}\{2\}+n\\\]  
\\\[3S=n^3+3\\frac\{n(n+1)\}\{2\}-n\\\]  
\\\[S=\\frac\{n^3-n\}\{3\}+\\frac\{n(n+1)\}\{2\}\\\]  
\\\[S=\\frac\{2(n^3-n)+3n(n+1)\}\{6\}\\\]  
\\\[S=\\frac\{2n^3+2n^2+n\}\{6\}\\\]  
\\\[S=n\\frac\{2n^2+2n+1\}\{6\}\\\]  
\\\[S=\\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\}\\\]

故得证。

法二：几何巧妙构造代数情景

设\\(S=\\sum\_\{i=1\}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\\)

1
        2 2
       3 3 3
      4 4 4 4
     . . . . .
    n n n n n n

已知答案即为该图形中所有数字之和，再将之分别顺时针旋转\\(60^o,120^o\\),有：

n
        n .
       n . 4
      n . 4 3
     n . 4 3 2
    n . 4 3 2 1

和

n
        . n
       4 . n
      3 4 . n
     2 3 4 . n
    1 2 3 4 . n

不难得知每个格子的对应数字之和为\\(2n+1\\),所以:

\\\[3S=(2n+1)\\frac\{n(n+1)\}\{2\}\\\]

\\\[S=\\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\}\\\]

故得证。

### 2.\\(\\sum\_\{i=1\}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\\frac\{a^\{n+1\}-a\}\{a-1\}\\) ###

证明：

数列问题，考虑扩大做差，设\\(S=\\sum\_\{i=1\}^na^i=a^1+a^2+...+a^n\\),于是有  
\\\[aS=a^2+a^3+...+a^\{n+1\}\\\]

两式相减，有  
\\\[S(a-1)=a^\{n+1\}-a\\\]  
\\\[S=\\frac\{a^\{n+1\}-a\}\{a-1\}\\\]  
故得证。

### 3. \\(1^3+2^3+...+n^3=\\sum\_\{i=1\}^ni^3=(\\frac\{(1+n)n\}\{2\})^2\\) ###

证明：

法一：构造等差数列

注意到\\(n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1\\)

所以有

\\\[1^4-(1-1)^4=4\\times1^3-6\\times1^2+4\\times1-1\\\]  
\\\[2^4-(2-1)^4=4\\times2^3-6\\times2^2+4\\times2-1\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[.\\\]  
\\\[n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1\\\]

累加有

\\\[n^4=4\\times(1+..+n^3)-n(1+n)(2n+1)+2n(1+n)-n\\\]

\\\[4\\times(1+..+n^3)=n(n^3+1)+n(1+n)(2n+1)-2n(1+n)\\\]

\\\[4\\times(1+..+n^3)=n(n+1)\[(n^2-n+1)+(2n+1)-2\]\\\]

\\\[4\\times(1+..+n^3)=n^2(n+1)^2\\\]

\\\[1^3+..+n^3=(\\frac\{n(1+n)\}\{2\})^2\\\]

法二：几何意义

设有一边长\\(\\frac\{n(1+n)\}\{2\}\\)的正方形，把它的边长分成n块，块的长度依次\\(1,2,3,...,n\\),如图所示，数字为其所属块

对于全部标n的数字的地方,标\*面积\\(n^2\\)，其旁边的数字不难得知对于应为\\(\\frac\{n(n-1)\}\{2\}\\times n\\times 2\\),所以对于标数字n而言的面积为

\\\[\\frac\{n(n-1)\}\{2\}\\times n\\times 2+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3\\\]

于是不难得知大正方形面积即为我们所求数列。

### 4. \\(f\_n=f\_\{n-1\}+f\_\{n-2\},f\_1+....+f\_n=\\sum\_\{i=1\}^nf\_i=f\_\{n+2\}-f\_2\\) ###