[LibreOJ #2983]【WC2019】数树【计数】【DP】【多项式】

深藏阁楼爱情的钟 2021-12-23 12:37 207阅读 0赞

## Description ##

此题含有三个子问题  
问题1：  
给出n个点的两棵树，记m为只保留同时在两棵树中的边时连通块的个数，求\\(y^m\\)  
问题2：  
给出n个点的一棵树，另外一棵树任意生成，求所有方案总的\\(y^m\\)的和  
问题3：  
两棵树均任意生成，求所有方案总的\\(y^m\\)的和  
n<=100000,答案对998244353取模

## Solution ##

### 问题1： ###

求出同时在两棵树中的边数v，容易得到m=n-v，直接算即可。

### 问题2： ###

记\\(z=y^\{-1\}\\)即y在模意义下的逆元，我们就是要求\\(z^v\\)的总和  
直接计算比较困难  
考虑这样一个转化\\(z^v=\\sum\\limits\_\{i=0\}^\{v\}(z-1)^i\{v\\choose i\}\\)  
考虑它的组合意义，实际上就是我们任意枚举一个重合边集E的子集E0，贡献就是\\((z-1)^\{|E\_0|\}\\)

我们不妨枚举原树边集的子集\\(E\_0\\)，再计算有多少个生成树包含\\(E\_0\\)  
假设\\(E\_0\\)构成了m个连通块，它们的点数分别是\\(a\_1,a\_2,...,a\_m\\)

那么包含\\(E\_0\\)的生成树个数就是\\(n^\{m-2\}\\prod\\limits\_\{i=1\}^\{m\} a\_i\\)，总的贡献就是\\((z-1)^\{n-m\}n^\{m-2\}\\prod\\limits\_\{i=1\}^\{m\} a\_i\\)  
这东西考虑用prufer序来理解，我们将一个连通块看做一个大的点，那么m-2个连通块在prufer序上都有一个“父亲”，但是这个父亲是一个单点，因此是\\(n^\{m-2\}\\)，此外后面的大小之积相当于枚举每个连通块prufer序连出去的边是哪一条。

这显然可以用一个n^2的树形DP来完成，考虑优化  
考虑上面的式子的组合意义，我们把常数因子提出来（\\((z-1)^nn^\{-2\}\\)），相当于每个连通块都有一个固定的贡献\\((z-1)^\{-1\}n\\)，此外再在每个连通块中选择一个点，求总的贡献和。

这就可以用树形DP来做了，记\\(F\[i\]\[0/1\]\\)表示当前做完了i的子树，i所在的连通块是否已经贡献过。  
直接讨论相邻边是否出现即可转移，时间复杂度\\(O(N)\\)，非常的巧妙。

### 问题3： ###

有了问题2的基础，我们来考虑问题3  
不妨同样枚举重合边集的一个子集\\(E\_0\\)，m,a的定义同上  
那么贡献变成了\\\[(z-1)^\{n-m\}\\left(n^\{m-2\}\\prod a\_i \\right)^2\\\]  
平方乘到指数上，依然是将常数因子提出来，把贡献分配到每个连通块上  
此外由于两棵树都是生成的，因此连通块内部的边也不确定，还要乘上连通块内部的生成树个数

那么一个连通块i的贡献就是  
\\((z-1)^\{-1\}n^2a\_i^2a\_i^\{a\_i-2\}=(z-1)^\{-1\}n^2a\_i^\{a\_i\}\\)

那么上面的式子相当于连通块的带标号重复拼接  
一个连通块的EGF就是\\\[F(x)=\\sum\\limits\_\{i>0\}\{(z-1)^\{-1\}n^2i^i\\over i!\}\\\]  
拼接以后就是\\(\[x^n\]e^\{F(x)\}\\)，乘上前面提出来的贡献就是答案了。

## Code ##

#include <bits/stdc++.h> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) #define N 100005 #define LL long long #define mo 998244353 using namespace std; int n,tp; LL m; LL ksm(LL k,LL n) { LL s=1; for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo; return s; } namespace subtask1 { map<int,bool> mp[N]; void solve1() { fo(i,1,n-1) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); mp[x][y]=mp[y][x]=1; } int c=0; fo(i,1,n-1) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); if(mp[x][y]) c++; } printf("%lld\n",ksm(m,n-c)); } } using namespace subtask1; namespace subtask2 { LL f[N][2],rm,pm; int fs[N],m1,nt[2*N],dt[2*N]; void link(int x,int y) { nt[++m1]=fs[x]; dt[fs[x]=m1]=y; } void dp(int k,int fa) { f[k][0]=1,f[k][1]=0; for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) { int p=dt[i]; if(p!=fa) { dp(p,k); f[k][1]=(f[k][1]*(f[p][0]+f[p][1])%mo+f[k][0]*f[p][1])%mo; f[k][0]=f[k][0]*(f[p][0]+f[p][1])%mo; } } f[k][1]=(f[k][1]+f[k][0]*pm%mo*(LL)n)%mo; } void solve2() { if(m==1) { printf("%lld\n",ksm(n,n-2)); return; } fo(i,1,n-1) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); link(x,y),link(y,x); } rm=ksm(m,mo-2); pm=ksm(rm-1,mo-2); dp(1,0); printf("%lld\n",f[1][1]*ksm(ksm(n,mo-2),2)%mo*ksm(rm-1,n)%mo*ksm(m,n)%mo); } } using namespace subtask2; namespace subtask3 { #define M 262144 LL wg[M+1],wi[M+1],a[M+1],b[M+1],js[M+1],ny[M+1],ns[M+1]; int bit[M+1],cf[19],l2[M+1]; void prp(int num) { fo(i,0,num) { wi[i]=wg[i*(M/num)]; bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l2[num]-1)); } } void NTT(LL *a,bool pd,int num) { LL v; fo(i,0,num-1) if(i<bit[i]) swap(a[i],a[bit[i]]); for(int h=1,m=2,l=num>>1;m<=num;h=m,m<<=1,l>>=1) { int c=(!pd)?l:-l; for(int j=0;j<num;j+=m) { LL *x=a+j,*y=a+h+j,*w=(!pd)?wi:wi+num; fo(i,0,h-1) { v=*y * *w%mo; *y=(*x-v+mo)%mo,*x=(*x+v)%mo; x++,y++,w+=c; } } } if(pd) fo(i,0,num-1) a[i]=a[i]*ny[num]%mo; } void getinv(int n,LL *a,LL *b) { static LL u1[M+1],u2[M+1]; fo(i,0,cf[l2[n]]-1) b[i]=0; b[0]=ksm(a[0],mo-2); for(int m=1,t=2,num=4;m<n;m=t,t=num,num<<=1) { prp(num); fo(i,0,num-1) u1[i]=u2[i]=0; fo(i,0,m-1) u1[i]=b[i]; fo(i,0,t-1) u2[i]=a[i]; NTT(u1,0,num),NTT(u2,0,num); fo(i,0,num-1) u1[i]=u1[i]*u1[i]%mo*u2[i]%mo; NTT(u1,1,num); fo(i,0,t-1) b[i]=((LL)2*b[i]-u1[i]+mo)%mo; } } void getln(int n,LL *a,LL *b) { static LL u1[M+1],u2[M+1]; int num=cf[l2[2*n+1]]; getinv(n+1,a,u1); fo(i,n+1,num-1) u1[i]=0; prp(num); fo(i,0,n-1) u2[i]=a[i+1]*(LL)(i+1)%mo; fo(i,n,num-1) u2[i]=0; NTT(u1,0,num),NTT(u2,0,num); fo(i,0,num-1) u1[i]=u1[i]*u2[i]%mo; NTT(u1,1,num); b[0]=0; fo(i,1,n) b[i]=u1[i-1]*ny[i]%mo; } void getexp(int n,LL *a,LL *b) { static LL u1[M+1],u2[M+1]; b[0]=1; fo(i,1,cf[l2[n]]) b[i]=0; for(int m=1,t=2,num=4;m<=n;m=t,t=num,num<<=1) { getln(t-1,b,u1); fo(i,0,t-1) u1[i]=(-u1[i]+a[i]+mo+mo)%mo; fo(i,t,num-1) u1[i]=0; u1[0]++; fo(i,0,m-1) u2[i]=b[i]; fo(i,m,num-1) u2[i]=0; prp(num); NTT(u1,0,num),NTT(u2,0,num); fo(i,0,num-1) u1[i]=u1[i]*u2[i]%mo; NTT(u1,1,num); fo(i,0,t-1) b[i]=u1[i]; } } void solve3() { if(m==1) {printf("%lld\n",ksm(n,2*n-4));return;} wg[0]=1,wg[1]=ksm(3,(mo-1)/M); fo(i,2,M) wg[i]=wg[i-1]*wg[1]%mo; fo(i,0,18) l2[cf[i]=1<<i]=i; fod(i,M-1,2) if(!l2[i]) l2[i]=l2[i+1]; js[0]=ns[0]=js[1]=ns[1]=ny[1]=1; fo(i,2,M) js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo,ny[i]=(-ny[mo%i]*(LL)(mo/i)%mo+mo)%mo; fo(i,2,M) ns[i]=ns[i-1]*ny[i]%mo; LL rm=ksm(m,mo-2),pm=ksm(rm-1,mo-2); fo(i,1,n) a[i]=pm*(LL)n%mo*(LL)n%mo*ksm(i,i)%mo*ns[i]%mo; getexp(n,a,b); printf("%lld\n",b[n]*ksm(ksm(n,mo-2),4)%mo*ksm(rm-1,n)%mo*ksm(m,n)%mo*js[n]%mo); } } using namespace subtask3; int main() { cin>>n>>m>>tp; if(tp==0) solve1(); else if(tp==1) solve2(); else solve3(); }

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