向量的内积（点乘）与向量的外积（叉乘）

爱被打了一巴掌 2021-12-21 05:15 360阅读 0赞

# 向量的内积（点乘） #

## 定义 ##

概括地说，向量的**内积**（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

![20190627201242516.png][]

a和b的点积公式为：

![810440-20170926172347932-1873667255.png][]

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。**注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)**

**定义**：两个向量**a**与**b**的内积为 **a**·**b** = |**a**||**b**|cos∠(a, b)，特别地，**0**·**a** =**a**·**0** = 0；若**a**，**b**是非零向量，则**a**与**b\*\*\*\*正交**的充要条件是**a**·**b** = 0。

## 向量内积的性质： ##

1.  **a**^2 ≥ 0；当**a**^2 = 0时，必有**a** = 0. （正定性）
2.  **a**·**b** = **b**·**a**. （对称性）
3.  (λ**a** \+ μ**b**)·**c** = λ**a**·**c** \+ μ**b**·**c**，对任意实数λ, μ成立. （线性）
4.  cos∠(**a**,**b**) =**a**·**b**/(|**a**||**b**|).
5.  |**a**·**b**| ≤ |**a**||**b**|，等号只在**a**与**b**共线时成立.

## 向量内积的几何意义 ##

内积（点乘）的几何意义包括：

1.  表征或计算两个向量之间的夹角
2.  b向量在a向量方向上的投影

有公式：

![810440-20170926172348479-484610832.png][]

推导过程如下，首先看一下向量组成：

![810440-20170926172349104-213873300.png][]

定义向量**c**：

![810440-20170926172350104-715987855.png][]

根据三角形余弦定理（这里a、b、c均为向量，下同）有：

![810440-20170926172350495-1596303032.png][]

根据关系**c**=**a**\-**b**有：

![810440-20170926172351182-1041160445.png][]

即：

a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间  
a∙b=0→ 正交，相互垂直  
a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

# 向量的外积（叉乘） #

## 定义 ##

概括地说，两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个**向量**而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

**定义**：向量**a**与**b**的外积**a**×**b**是一个向量，其长度等于|**a**×**b**| = |**a**||**b**|sin∠(**a**,**b**)，其方向正交于**a**与**b**。并且，(**a**,**b**,**a**×**b**)构成右手系。  
特别地，**0**×**a** = **a**×**0** = **0**.此外，对任意向量**a**，**a**×**a**=**0**。

对于向量a和向量b：

![810440-20170926172351839-750620972.png][]

a和b的外积公式为：

![810440-20170926172352292-327320233.png][]

其中：

![810440-20170926172352667-41569494.png][]

根据i、j、k间关系，有：

![810440-20170926172353057-1423174374.png][]

## 向量外积的性质 ##

1.  **a** × **b** = -**b** × **a**. （反称性）
2.  (λ**a** \+ μ**b**) × **c** = λ(**a** ×**c**) + μ(**b** ×**c**). （线性）

## 向量外积的几何意义 ##

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是**法向量**，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

![810440-20170926172353432-1363637045.png][]

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|**a**×**b**|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

### Reference ###

*  [http://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832][http_blog.csdn.net_dcrmg_article_details_52416832]
 *  [http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50237081][http_blog.csdn.net_baimafujinji_article_details_50237081]
 *  [http://blog.csdn.net/hunter\_wwq/article/details/41248537][http_blog.csdn.net_hunter_wwq_article_details_41248537]
 *  [https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html][https_www.cnblogs.com_gxcdream_p_7597865.html]

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[http_blog.csdn.net_dcrmg_article_details_52416832]: http://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832
[http_blog.csdn.net_baimafujinji_article_details_50237081]: http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50237081
[http_blog.csdn.net_hunter_wwq_article_details_41248537]: http://blog.csdn.net/hunter_wwq/article/details/41248537
[https_www.cnblogs.com_gxcdream_p_7597865.html]: https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html