KMP算法详解-彻底清楚了(转载+部分原创)

怼烎@ 2021-12-19 15:47 183阅读 0赞

[KMP算法详解-彻底清楚了(转载+部分原创)][KMP_-]

### **引言** ###

KMP算法指的是字符串模式匹配算法，问题是：在主串T中找到第一次出现完整子串P时的起始位置。该算法是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的，以其名字首字母命名。在网上看了不少对KMP算法的解析，大多写的不甚明了。直到我看到一篇博客的介绍，看完基本了解脉络，本文主要是在其基础上，在自己较难理解的地方进行补充修改而成。该博客地址为：https://www.cnblogs.com/yjiyjige/p/3263858.html，对作者的明晰的解析表示感谢。

### 1. 一般的解法 ###

KMP算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。

![17083616-9b40c67ea22e449f813fb38fcfd3a4fb.png][]

首先，对于这个问题有一个很直接的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。这有什么难的？

我们可以这样初始化：

![17083647-9dfd3e4a709c40dd98d9817927651960.png][]

之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：

![17083659-e6718026bf4f48a0be2d5d6076be4c55.png][]

A和E不相等，那就把i指针移回第1位（假设下标从0开始），j移动到模式串的第0位，然后又重新开始这个步骤：

![17083714-7de56d2c1cc84dbfa376cf410ba6f053.png][]

基于这个想法我们可以得到以下的程序：

![复制代码][copycode.gif]

1 /**
     2 
     3  * 暴力破解法
     4 
     5  * @param ts 主串
     6 
     7  * @param ps 模式串
     8 
     9  * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
    10 
    11  */
    12 
    13 public static int bf(String ts, String ps) {
    14 
    15     char[] t = ts.toCharArray();
    16 
    17     char[] p = ps.toCharArray();
    18 
    19     int i = 0; // 主串的位置
    20 
    21     int j = 0; // 模式串的位置
    22 
    23     while (i < t.length && j < p.length) {
    24 
    25        if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
    26 
    27            i++;
    28 
    29            j++;
    30 
    31        } else {
    32 
    33            i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
    34 
    35            j = 0; // j归0
    36 
    37        }
    38 
    39     }
    40 
    41     if (j == p.length) {
    42 
    43        return i - j;
    44 
    45     } else {
    46 
    47        return -1;
    48 
    49     }
    50 
    51 }

![复制代码][copycode.gif]

上面的程序是没有问题的，但不够好！（想起我高中时候数字老师的一句话：我不能说你错，只能说你不对~~~）

注意：该算法程序很简单，非常好理解，请认真看完，因为后面的算法是在该算法基础上修订的。

### 2.如果人眼来优化的话，怎样处理 ###

参考上面的算法，**我们串中的位置指针i,j来说明，第一个位置下标以0开始**，我们称为第0位。下面看看，如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，**因为主串匹配失败的位置(i=3)前面除了第一个****A****之外再也没有A****了**，我们为什么能知道主串前面只有一个A？**因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）**。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，**i****可以不动，我们只需要移动j**即可，如下图：

![17083828-cdb207f5460f4645982171e58571a741.png][]

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“**利用已经部分匹配这个有效信息，保持****i****指针不回溯，通过修改j****指针，让模式串尽量地移动到有效的位置**。”

所以，整个KMP的重点就在于**当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道****j****指针要移动到哪**？

接下来我们自己来发现j的移动规律：

![17083912-49365b7e67cd4877b2f501074dae68d2.png][]

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

![17083929-a9ccfb08833e4cf1a42c30f05608f8f5.png][]

如下图也是一样的情况：

![17084030-82e4b71b85a440c5a636d57503931415.png][]

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

![17084037-cc3c34200809414e9421c316ceba2cda.png][]

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：**最前面的****k****个字符和j****之前的最后k****个字符是一样的**。

如果用数学公式来表示是这样的

P\[0 ~ k-1\] == P\[j-k ~ j-1\]

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

![17084056-66930855432b4357bafbf8d6c76c1840.png][]

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

**当T\[i\] != P\[j\]时**

**有T\[i-j ~ i-1\] == P\[0 ~ j-1\]**

**由P\[0 ~ k-1\] == P\[j-k ~ j-1\]**

**必然：T\[i-k ~ i-1\] == P\[0 ~ k-1\]**

原文说公式很无聊，但我觉得这样简单的公式就能清楚表达我们想说的含义，实在是幸甚。这个公式小学生都能看懂的，真的，我教三年级的娃就告诉她这个了。无非就是连续的序列的起始下标和连续序列长度三者之间的关系。设首下标为head，尾下标为tail，序列长度为len，则公式为：len=tail-head+1；head=tail-len+1；我们head为0，则更简化了：len=tail+1；知道这个了，请一定耐着性子看懂，对我们的理解很有帮助。下面所有的公式都是这个相关的，请都要看懂。

这一段公式证明了我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

补充说明：

该规律是KMP算法的关键，KMP算法是利用待匹配的子串自身的这种性质，来提高匹配速度。该性质在许多其他中版本的解释中还可以描述成：若子串的前缀集和后缀集中，重复的最长子串的长度为k，则下次匹配子串的j可以移动到第k位(下标为0为第0位)。我们将这个解释定义成最大重复子串解释。

这里面的前缀集表示除去最后一个字符后的前面的所有子串集合，同理后缀集指的的是除去第一个字符后的后面的子串组成的集合。举例说明如下：

在“aba”中，前缀集就是除掉最后一个字符'a'后的子串集合\{a,ab\}，同理后缀集为除掉最前一个字符a后的子串集合\{a,ba\}，那么两者最长的重复子串就是a，k=1；

在“ababa”中，前缀集是\{a,ab,aba,abab\}，后缀集是\{a,ba,aba,baba\}，二者最长重复子串是aba，k=3；

在“abcabcdabc”中，前缀集是\{a,ab,abc,abca,abcab,abcabc,abcabcd,abcabcda,abcabcdab\}，后缀集是\{c,bc,abc,dabc,cdabc,bcdabc,abcdabc,cabcdabc,bcabcdabc\}，二者最长重复的子串是“abc”,k=3；

下面我们用这个解释，来再一次手动求解上面的过程：

首先如下图所示：

![17083912-49365b7e67cd4877b2f501074dae68d2.png][]

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？j位前面的子串是ABA，该子串的前缀集是\{A,AB\}，后缀集是\{A,BA\}，最大的重复子串是A，只有1个字符，所以j移到k即第1位。

![17083929-a9ccfb08833e4cf1a42c30f05608f8f5.png][]

再分析下图的情况：

![17084030-82e4b71b85a440c5a636d57503931415.png][]

在j位的时候，j前面的子串是ABCAB，前缀集是\{A,AB,ABC,ABCA\}，后缀集是\{B,AB,CAB,BCAB\}，最大重复子串是AB，个数是2个字符，因此j移到k即第2位。

![17084037-cc3c34200809414e9421c316ceba2cda.png][]

上面说的,如果分解成计算机的步骤，则是如下的过程：

1）找出前缀pre，设为pre\[0~m\]；

2）找出后缀post，设为post\[0~n\]；

3）从前缀pre里，先以最大长度的s\[0~m\]为子串，即设k初始值为m,跟post\[n-m+1～n\]进行比较：

如果相同，则pre\[0~m\]则为最大重复子串，长度为m，则k=m;

如果不相同，则k=k-1;缩小前缀的子串一个字符，在跟后缀的子串按照尾巴对齐，进行比较，是否相同。

如此下去，直到找到重复子串，或者k没找到。

改天，这里我写个代码说明，怎么找重复子串。

根据上面的求解过程，我们知道子串的j位前面，有j个字符，前后缀必然少掉首尾一个字符，因此重复子串的最大值为j-1，因此知道下一次的j指针最多移到第j-1位。

**我为什么要补充上面这段说明，是因为该说明能便于我们理解下面的求解next数组的过程，上面实际也是指出了人工求解next\[j\]的过程。不知道next\[j\]为何物没关系，看到下面的定义以后，请到时再绕回来回味就行了。**

### 3.求next数组 ###

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，**next\[j\] = k****，表示当T\[i\] != P\[j\]****时，j****指针的下一个位置。另一个非常有用且恒等的定义，因为下标从0开始的，k值实际是j位前的子串的最大重复子串的长度。请时刻牢记next数组的定义，下面的解释是死死地围绕着这个定义来解释的。**

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

![复制代码][copycode.gif]

1 public static int[] getNext(String ps) {
     2 
     3     char[] p = ps.toCharArray();
     4 
     5     int[] next = new int[p.length];
     6 
     7     next[0] = -1;
     8 
     9     int j = 0;
    10 
    11     int k = -1;
    12 
    13     while (j < p.length - 1) {
    14 
    15        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
    16 
    17            next[++j] = ++k;
    18 
    19        } else {
    20 
    21            k = next[k];
    22 
    23        }
    24 
    25     }
    26 
    27     return next;
    28 
    29 }

![复制代码][copycode.gif]

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，**next\[j\]****的值（也就是k）表示，当P\[j\] != T\[i\]****时，j****指针的下一步移动位置**。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

![17084258-efd2e95d3644427ebc0304ed3d7adefb.png][]

像上图这种情况，**j****已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i****指针后移**。所以在代码中才会有next\[0\] = -1;这个初始化。

如果是当j为1的时候呢？

![17084310-29f9f8dbb6034151a383e7ccf6f5583e.png][]

显然，**j****指针一定是后移到0****位置的**。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

下面这个是最重要的，请看如下图：

![17084327-8a3cdfab03094bfa9e5cace26796cae5.png][] ![17084342-616036472ab546c082aa991004bb0034.png][]

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P\[k\] == P\[j\]时，

有next\[j+1\] == next\[j\] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P\[j\]之前已经有P\[0 ~ k-1\] == p\[j-k ~ j-1\]。（next\[j\] == k）

这时候现有P\[k\] == P\[j\]，我们是不是可以得到P\[0 ~ k-1\] + P\[k\] == p\[j-k ~ j-1\] + P\[j\]。

即：P\[0 ~ k\] == P\[j-k ~ j\]，即next\[j+1\] == k + 1 == next\[j\] + 1。

原文说公式不好懂，看图容易。我觉得，公式实际挺简单的，结合图再把公式耐着性子看懂。实际上，该公式无非是用字母下标代表序列的起始段，描述了前缀和后缀重复相等的一段长度的序列罢了。

那如果P\[k\] != P\[j\]呢？比如下图所示：

![17122358-fd7e52dd382c4268a8ff52b85bff465d.png][]

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next\[k\];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

![17122439-e349fed25e974e7886a27d18871ae48a.png][]

现在你应该知道为什么要k = next\[k\]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到\[ A，B，A，B \]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到\[ A，B \]、\[ B \]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位\[ A，B，A，C \]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next\[k\]啦。

补充说明：看了上面这段的描述，你是否真的理解了P\[k\]!=P\[j\]时，是要使用k=next\[k\]的语句呢？我反正是没弄懂，我总觉得这段else的代码有点反人类，无法理解。实际上，我们的目的是用数学归纳法，来求解next数组的每个值。当前已经求到next\[j\],接着就应该求解next\[j+1\]，此时就分两种情况，一种是：重复的字符串个数会增加，即所谓的p\[k\]=p\[j\],此时p\[j+1\]=k+1;即p\[++j\]=++k;另一种就是不能增加，也就是说P\[k\]!=P\[j\],即最大重复子串的长度不能增加了；按照**next\[j\]的定义，就是当子串的第j位和主串的第i位不一致时，下一次，和主串i位进行比较的子串的j指针的位置**。这个定义还是不太直观，主要是指脑子里不知道是怎样实际操作的，那你回头看看，我上面写的另一个最大重复子串长度的定义，next\[j\]的值k就是j位之前的子串中，前缀集和后缀集中的最大重复子串的长度。以这个定义我们来尝试在next\[j\]=k,p\[k\]!=p\[j\]时，手动求解next\[j+1\]的值。

请看下面的图：

![1294504-20180726222056372-1730181847.jpg][]

当p\[j\]!=p\[k\]时我们要找的就是j+1位前面的子串，即p\[0~j\]的最大重复子串长度。就是说找到一个最长的子串，假设最长重复子串长度为k1，即p\[0~k1-1\],使得p\[0~k1-1\]===p\[j+1-k1~j\],此时k1即为所求的位置即next\[j+1\]=k1;因为p\[k\]!=p\[j\]了，因此k1最大等于k，即最大可能的重复子串只可能是p\[0~k-1\]里的子串。此时我们人工求解的话，显然就是从p\[0~k-1\]里求解最大重复子串。

我们按照第2节介绍的查找最长重复子串的方法：从p\[0~k-1\]里，第一步，以0位为起始字符先挑选最大子串p\[0~k-1\]，然后拿着这个子串，尾巴对齐，即看p\[k-1\]和p\[j\]对齐，与子串p\[j-k+1~j\]进行比较，见图中绿色线段；如果线段上每个值都相等了，则找到最大重复子串p\[0~k-1\];如果不等，则继续缩小线段长度找下去。

下面重点来了，请注意：我们看，在查找最大匹配的过程中，将上面选择的待比较的子串分成两部分：最后一个端点为一部分，前面的一段为一部分；比如上面的第一个选取的最大比较子串的例子：前缀的p\[0~k-1\]分成两段为p\[0~k-2\]和p\[k-1\],和后缀的p\[j-k+1～j-1\]和p\[j\]分别比较，即p\[0~k-2\]和p\[j-k+1~j-1\]比较，p\[k-1\]和p\[j\]比较，见图中的红色线段和绿色圆点；通过这个例子我们知道，只要前面一段能重复且尽可能的长，那么加上最后一个端点这个重复子串也必将是最长的。我们继续分析，因为next\[j\]已经求出，即p\[0~k-1\]===p\[j-k~j-1\],我们可以把上面的第一段的比较进一步转换成，比较p\[0~k-2\]和p\[1~k-1\]子串了，见图中紫线箭头指示的漂移；看到没有，这个就是求k位前的子串p\[0~k-1\]的最大重复子串，很显然不就是求next\[k\]嘛？！很明显p\[0~next\[k\]-1\]就是我们要找的第一个候选最大的重复子串，这也说明了子串p\[0~k-2\]就不可能是重复子串，也没有尝试比较的必要。因为根据next\[j\]的定义我们知道，next\[k\]就是要求的子串为p\[0~k-1\]的最大重复子串的长度，最大，最大，最大，重要的事说三遍。我们是充分利用了前面k<j时，next\[k\]已经求出来的条件，减少了子串比较的次数(其实也不叫减少了，那些比较本来就是无效的)；这解释了为什么把k=next\[k\]。此时，p\[0~next\[k\]-1\]和p\[j-next\[k\]~j-1\]子串已经恒等了，我们只要比较另外的一部分即两个端点，p\[next\[k\]\]和p\[j\](对应于代码中的p\[k\]==p\[j\]，注意在上个循环p\[k\]!=p\[j\]时，k已经被赋值next\[k\],而j还是上次的那个j);如果这两者相等了,则重复子串的长度+1，next\[j+1\]=next\[k\]+1(k++即next\[k\]+1);如果不相等了，则说明倒数第二大的p\[0~next\[k\]-1\]都不行了，比这个重复子串小的最大的重复子串只能是k=next\[next\[k\]\]了，如此继续查找下去。因此比较的都是按序递减的最大重复子串，非常的有效，一点都没有多比较。找不到的话，k会被赋值为-1。

这个算法神奇难解之处就在k=next\[k\]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next\[k\]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

![复制代码][copycode.gif]

1 public static int KMP(String ts, String ps) {
     2 
     3     char[] t = ts.toCharArray();
     4 
     5     char[] p = ps.toCharArray();
     6 
     7     int i = 0; // 主串的位置
     8 
     9     int j = 0; // 模式串的位置
    10 
    11     int[] next = getNext(ps);
    12 
    13     while (i < t.length && j < p.length) {
    14 
    15        if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
    16 
    17            i++;
    18 
    19            j++;
    20 
    21        } else {
    22 
    23            // i不需要回溯了
    24 
    25            // i = i - j + 1;
    26 
    27            j = next[j]; // j回到指定位置
    28 
    29        }
    30 
    31     }
    32 
    33     if (j == p.length) {
    34 
    35        return i - j;
    36 
    37     } else {
    38 
    39        return -1;
    40 
    41     }
    42 
    43 }

![复制代码][copycode.gif]

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

### 4.next数组求解算法优化 ###

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

![17084712-f0d6998938764b309f61923452a2b20f.png][]

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是\[ -1，0，0，1 \]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

![17084726-790fc1b2c48c411b8011eab9de692f6d.png][]

不难发现，**这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的**，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，**发生问题的原因在于P\[j\] == P\[next\[j\]\]**。

补充说明：这部分作者说的也比较清楚了。实际上对下面的代码if(p\[++j\]==p\[++k\])，我们注意是先自加，再使用。所以我们按照j不变的情况下解释下一步流程就是p\[j+1\]==p\[next\[j\]+1\];此时比较将无意义，因为p\[next\[k\]+1\]位就已经表示，就是k+1位和主串的i不相等，要移动的j下标为next\[K+1\]，因为p\[k+1\]又等于p\[j+1\],也就是说比较j+1位和主串的i位是否相等时，也将要j移到next\[K+1\]位去；

所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

![复制代码][copycode.gif]

public static int[] getNext(String ps) {
    
        char[] p = ps.toCharArray();
    
        int[] next = new int[p.length];
    
        next[0] = -1;
    
        int j = 0;
    
        int k = -1;
    
        while (j < p.length - 1) {
    
           if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
    
               if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过
    
                  next[j] = next[k];
    
               } else {
    
                  next[j] = k;
    
               }
    
           } else {
    
               k = next[k];
    
           }
    
        }
    
        return next;
    
    }

对我这个解释，有疑问的，欢迎探讨。

我十多年前刚工作的时候，实在没想到十多年后的不惑之年，居然重新开始做程序员，才感叹自己已经不写程序好久了，对自己是否还能写程序，还能有那个热情，产生了隐隐作痛的怀疑。为了新生活，为了在异国他乡重新找工作，我给自己定了目标，学ASP.NET、前端开发和算法。犹记读书时，老师的数据结构课程中对KMP算法，就略过不讲。我自己看的，我记得当时应该是看懂的。可现在我居然又想了两天，其中好几次，在懂了，又不懂了的过程中恍惚徘徊，我都怀疑是不是真的年纪大了，脑子不好使了。心情异常沮丧也无可奈何，自己的选择，必须坚定的走下去。本篇是我第一篇程序员博客，将纪录我的新的人生历程。我目前的主要关注点在ASP.NET MVC和REACT等前端开发，并且开始刷leetcode题目。希望自己能挺下去。

posted on 2018-07-24 22:54 [sofu6][] 阅读( ...) 评论( ...) [编辑][Link 1] 收藏

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