RMQ入门

喜欢ヅ旅行 2021-12-17 02:27 293阅读 0赞

RMQ就是一个查询区间最大最小值的问题，使用的是dp的思想(非常简单)，干的是线段树的工作。但是RMQ，，太TM简单了，简单到一学就会。

**RMQ：**

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，

回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

**分析：**

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法

**预处理：**

设A\[i\]是要求区间最值的数列，F\[i, j\]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F\[1，0\]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F\[1,1\] = max(3,2) = 3, F\[1，2\]=max(3,2,4,5) = 5，F\[1，3\] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F\[i,0\]就等于A\[i\]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F\[i，j\]平均分成两段（因为f\[i，j\]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段

(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F\[i，j\]就是这两段各自最大值中的最大值。

于是我们得到了状态转移方程F\[i, j\]=max（F\[i，j-1\], F\[i + 2^(j-1)，j-1\]）。

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下面通过例题讲解：

## 题目描述 ##

老管家是一个聪明能干的人。他为财主工作了整整10年，财主为了让自已账目更加清楚。要求管家每天记k次账，由于管家聪明能干，因而管家总是让财主十分满意。但是由于一些人的挑拨，财主还是对管家产生了怀疑。于是他决定用一种特别的方法来判断管家的忠诚，他把每次的账目按1，2，3…编号，然后不定时的问管家问题，问题是这样的：在a到b号账中最少的一笔是多少？为了让管家没时间作假他总是一次问多个问题。

## 输入输出格式 ##

**输入格式：**

输入中第一行有两个数m,n表示有m(m<=100000)笔账,n表示有n个问题，n<=100000。

第二行为m个数,分别是账目的钱数

后面n行分别是n个问题,每行有2个数字说明开始结束的账目编号。

**输出格式：**

输出文件中为每个问题的答案。具体查看样例。

## 输入输出样例 ##

**输入样例\#1：** 复制

10 3
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    2 7
    3 9
    1 10

**输出样例\#1：** 复制

2 3 1

也就是给出区间求最小值：

我们先看AC代码在一步步讲解代码：

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int x,y,z,m,n,d[500100],f[500100][20];//f[i][j]是从第i个数起，到第2^j个数止的，最小值 
    int main(){
    	scanf("%d%d",&m,&n);
    	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",d+i);
    	//RMQ预处理
    	for(int i=1;i<=m;i++)f[i][0]=d[i];
    	for(int j=1;j<=17;j++)
    		for(int i=1;i<=m;i++)
    			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+ (1<< (j-1) ) ][j-1]);
    	while(n--){
    		scanf("%d%d",&x,&y);
    		z=0;
    		while(1<<(z+1)<=y-x+1)z++;
    		printf("%d ",min(f[x][z],f[y-(1<<z)+1][z]));
    		//这里的两个数字：x和y-(1<<z)+1的意思是：
    		//从x之后的2^z个数字   和   从y之前的2^z个数。 
    	}
    	return 0;
    }

输入数据：

scanf("%d%d",&m,&n);
    	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",d+i);

然后对RMQ预处理：对于这个DP来说，F\[ i \]\[ 0 \]指的就是d\[ i \]  这个数字。

两个循环：求出了从i 到 i+2^j  的最值

while(n--){
    		scanf("%d%d",&x,&y);
    		z=0;
    		while(1<<(z+1)<=y-x+1)z++;
    		printf("%d ",min(f[x][z],f[y-(1<<z)+1][z]));
    		//这里的两个数字：x和y-(1<<z)+1的意思是：
    		//从x之后的2^z个数字   和   从y之前的2^z个数。 
    	}

然后进行查询：

ps：注释理解下。

while(n--){
    	scanf("%d%d",&x,&y);
    	z=0;
    	while(1<<(z+1)<=y-x+1)z++;
    	printf("%d ",min(f[x][z],f[y-(1<<z)+1][z]));
    	//这里的两个数字：x和y-(1<<z)+1的意思是：
    	//从x之后的2^z个数字   和   从y之前的2^z个数。 
    }

over。

[1024146-20170606092032512-55210280.png]: /images/20211214/9614aba1dc0e446c8781c6b5813041ca.png