高博14讲--第三讲三维空间刚体运动

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2021-12-13 14:43 522阅读 0赞

### 高博14讲--第三讲 三维空间刚体运动 ###

*  旋转矩阵
 *   *  点和向量、坐标系
     *  坐标系间的欧式变换
     *  变换矩阵与齐次坐标
 *  旋转向量和欧拉角
 *   *  旋转向量
     *  欧拉角
 *  四元数
 *   *  四元数的定义
     *  四元数的运算
     *  用四元数表示旋转
     *  四元数到旋转矩阵的转换
 *  相似、仿射、射影变换
 *   *  相似变换
     *  仿射变换
     *  射影变换

# 旋转矩阵 #

## 点和向量、坐标系 ##

**刚体**是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。

*  刚体，不光有位置，还有自身的姿态。
 *  相机可以看作三维空间中的刚体，于是，位置是指相机在空间中的哪个地方，而姿态是指相机的朝向。  
      
    **向量的内积：** 对于   a , b ∈ R 3 \\ a,b∈R^3  a,b∈R3，内积为： a ⋅ b = a T b = Σ i = 1 3 a i b i = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s ( a , b ) a·b=a^Tb=\\Sigma\_\{i=1\}^3\{a\_ib\_i\}=|a||b|cos(a,b) a⋅b=aTb=Σi=13aibi=∣a∣∣b∣cos(a,b)  
    **内积描述了向量间的投影关系**。  
      
      
    **向量的外积：**  
    ![在这里插入图片描述][20190707210510172.png]上式中，第一个等号后面为行列式，第三个等号后面的式子，把向量a写成矩阵的形式。  
      
    向量的外积，仍是一个向量，外积的方向垂直于这两个向量，大小为   ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n a ( a , b ) \\ |a||b|sina(a,b)  ∣a∣∣b∣sina(a,b)，是两个向量张成的四边形的有向面积。  
      
    引入了    ⋀ \\ ^\{\\bigwedge \}  ⋀ 符号，把    a \\ a  a 写成一个矩阵，   ⋀ \\ ^\{\\bigwedge \}  ⋀ 是反对称符号，   a ⋀ \\ a^\{\\bigwedge \}  a⋀ 是一个3×3反对称矩阵。 向量   b \\ b  b 是3×1的矩阵，所以，它们可以写成相乘的形式。即：  
      
    **把向量的外积   a × b \\ a\{\\times \}b  a×b写成矩阵与向量的乘法   a ⋀ b \\ a^\{\\bigwedge \}b  a⋀b**。   
      
    **外积只对三维向量存在定义，用外积表示向量的旋转**。   
      
    **为什么外积可以表示旋转呢？**  
      
      两个不平行的向量   a ， b \\ a，b  a，b，从   a \\ a  a到   b \\ b  b如何进行旋转，在右手法则下，用右手的4个指头从   a \\ a  a转向   b \\ b  b，大拇指朝向就是旋转向量的方向，事实上也是   a × b \\ a×b  a×b的方向。 通过这种方式，构造了从   a \\ a  a到   b \\ b  b的一个旋转向量。  
     所以，   a × b \\ a×b  a×b这个外积可以表示向量从   a \\ a  a到   b \\ b  b的旋转。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3podWlxaXV6aHVveXVlNTgz_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 坐标系间的欧式变换 ##

**坐标系之间的变换**由一个**旋转**和一个**平移**两部分组成。  
  
  **欧式变换：** 同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化的变换。  
  
  设某个单位正交基    ( e 1 , e 2 , e 3 ) \\ (e\_1,e\_2,e\_3)  (e1,e2,e3)经过一次旋转，变成了    ( e 1 ′ , e 2 ′  , e 3 ′ ) \\ (e\_1^\{′\},e\_2^\{′\},e\_3^\{′\})  (e1′,e2′,e3′)。对于同一个向量    a \\ a  a（注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为   \[ a 1 , a 2 , a 3 \] T \\ \[a\_1,a\_2,a\_3\]^T  \[a1,a2,a3\]T 和   \[ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ \] T \\ \[a\_1^\{′\},a\_2^\{′\},a\_3^\{′\}\]^T  \[a1′,a2′,a3′\]T。根据坐标的定义，有：  
![在这里插入图片描述][20190708090352229.png]  
 两边同时左乘   \[ e 1 T e 2 T e 3 T \] \\ \\left\[ \\begin\{matrix\} e\_1^\{T\} \\\\ e\_2^\{T\}\\\\ e\_3^\{T\} \\end\{matrix\} \\right\]  ⎣⎡e1Te2Te3T⎦⎤,左边的系数就变成单位矩阵，所以  
![在这里插入图片描述][20190708090224826.png]     R \\ R  R被称为**旋转矩阵**：旋转矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。  
  
  
**旋转矩阵的性质：**

1.  行列式为1
2.   正交阵
3.  对于同一个旋转变化，对应唯一的旋转矩阵
4.  旋转矩阵的充要条件：行列式为 1 的正交矩阵
5.  集合定义：   S O ( n ) = \{ R ∈ R n × n ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 \} . \\ SO(n)=\\\{R∈R^\{n×n\}|RR^T=I,det(R)=1\\\}.  SO(n)=\{ R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1\}.

旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转：  
![在这里插入图片描述][20190708101709636.png]      世界坐标系中的向量   a \\ a  a，经过一次旋转和一次平移后，得到   a ′ \\ a^\{′\}  a′，设旋转矩阵为    R \\ R  R，平移向量为    t \\ t  t ，则  
![在这里插入图片描述][20190708102133952.png]

## 变换矩阵与齐次坐标 ##

**齐次坐标：** 射影几何里的概念，把一个三维向量的末尾添加 1，变成了四维向量，称为齐次坐标。  
  
  变换矩阵   T \\ T  T：4 × 4矩阵，左上角是 3 × 3 旋转矩阵    R \\ R  R，下面是3 × 1零向量，右面是1 × 3平移向量   t \\ t  t ，右下角是1。  
![在这里插入图片描述][20190708105455885.png]

在齐次坐标中，某个点   x \\ x  x 的每个分量同乘一个非零常数   k \\ k  k 后，**仍然表示的是同一个点**。  
  
  **因此，一个点的具体坐标值不是唯一的。** 当最后一项不为零时，我们总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为 1，从而得到一个点唯一的坐标表示。忽略掉最后一项，这个点的坐标和欧氏空间就是一样：  
![在这里插入图片描述][20190712113224613.png]  依靠齐次坐标和变换矩阵，两次变换的累加就可以有很好的形式：  
![在这里插入图片描述][20190712113401812.png]  变换矩阵   T \\ T  T具有特别的结果：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为 0 向量，右下角为 1。这种矩阵又称为**特殊欧式群**。  
![在这里插入图片描述][20190712113645889.png]

变换矩阵的逆，表示反向变换：  
![在这里插入图片描述][20190708105544915.png]

# 旋转向量和欧拉角 #

## 旋转向量 ##

**矩阵表示的缺点：** 旋转矩阵有9个量，但只有3个自由度；变换矩阵由16个量，但只有6个自由度，表达冗余，浪费空间。  
  
  任意旋转都可以用一个**旋转轴**和一个**旋转角**来刻画。  
  **旋转向量（或轴角）：** 方向与旋转轴一致，长度等于旋转角的向量。  
  旋转向量有3个量和3个自由度，使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。  
  
  旋转向量和旋转矩阵的转换：  
    1. 旋转向量==>旋转矩阵：罗德里格斯公式  
      设旋转轴向量（单位向量）   n \\ n  n ，旋转角为   θ \\ θ  θ ，则旋转向量为   θ n \\ θn  θn，罗德里格斯公式如下：  
![在这里插入图片描述][20190708111425978.png]    2. 旋转矩阵==>旋转向量，公式如下：  
![在这里插入图片描述][2019070811155417.png]  
   转轴    n \\ n  n 是矩阵    R \\ R  R 特征值 1 对应的特征向量，旋转轴经过旋转之后不变。

## 欧拉角 ##

欧拉角使用了三个分离的转角，把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。  
  欧拉角常使用“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll），等价于    Z Y X \\ ZYX  ZYX 轴的旋转。使用    \[ r , p , y \] T \\ \[r,p,y\]^T  \[r,p,y\]T 这样一个三维的向量描述任意旋转，注意是先   y \\ y  y，再   p \\ p  p，再   r \\ r  r 。  
  
  欧拉角的**万向锁问题**：在俯仰角为   ± 9 0 ◦ \\ ±90^◦  ±90◦时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转），**也被称为奇异性问题**。  
  
  **欧拉角的万向锁就是指**，有两种方式可以到达相同的旋转效果。一种是绕三个轴各旋转一次，另一种就是绕两个轴各旋转一次，都能从相同的初始姿态到达，最后相同的姿态。  
  
  在旋转过程中，数据会有误差存在，比如测定的旋转为   9 0 ◦ \\ 90^◦  90◦，而实际旋转了   9 1 ◦ \\ 91^◦  91◦.

**这里的旋转是按自身本体的坐标系进行旋转**，即：当旋转体本身在旋转时，按照自身来建立坐标系，根据自身坐标系的   x \\ x  x轴（或   y \\ y  y轴，或   z \\ z  z轴）进行一次旋转，在旋转之后，再按照当前位置，自身坐标系绕的   y \\ y  y轴（或   z \\ z  z轴，或   y \\ y  y轴）进行一次旋转，在旋转之后，再按照当前位置，自身坐标系绕的   z \\ z  z轴（或   x \\ x  x轴，或   x \\ x  x轴）进行一次旋转。

理论上可以证明，只要我们想用三个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问题。  
  由于奇异性问题，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中，也很少出现在slam中。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3podWlxaXV6aHVveXVlNTgz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

# 四元数 #

## 四元数的定义 ##

没有不带奇异性的三维向量描述方式（旋转向量、欧拉角……）  
  **四元数**是扩展的复数，由**一个实部**和**三个虚部**构成，它是**紧凑的**，**没有歧义性**  
  
![在这里插入图片描述][20190708134752559.png]     虚部满足如下关系式：  
![在这里插入图片描述][20190708135034171.png]  
  四元数还可以表示成如下表达式：  
![在这里插入图片描述][20190708135146193.png]         s \\ s  s 称为四元数的实部，而   v \\ v  v 称为它的虚部。如果一个四元数虚部为 0，称之为实四元数。反之，若它的实部为 0，称之为虚四元数。  
  
  用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转。设某个旋转是绕单位向量    n = \[ n x , n y , n z \] T \\ n=\[nx,ny,nz\]^T  n=\[nx,ny,nz\]T进行了角度为    θ \\ θ  θ 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：  
![在这里插入图片描述][20190708135537629.png]         θ \\ θ  θ 加上   2 π \\ 2π  2π，得到一个相同的旋转，但此时对应的四元数变成了   − q \\ -q  −q。  
  在四元数中， 任**意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。**  
  取    θ \\ θ  θ 为   0 \\ 0  0，则得到一个没有任何旋转的实四元数： q 0 = \[ ± 1 , 0 , 0 , 0 \] T q\_0=\[\\pm1,0,0,0\]^T q0=\[±1,0,0,0\]T

## 四元数的运算 ##

四元数和负数一样，可进行一系列运算，如：四则运算、数乘、求逆、共轭。  
  
  设两个四元数为   q a , q b \\ q\_a,q\_b  qa,qb，它们的向量表示为   \[ s a , v a \] , \[ s b , v b \] \\ \[s\_a,v\_a\],\[s\_b,v\_b\]  \[sa,va\],\[sb,vb\]，或原始四元数表示为： q a = s a + x a i + y a j + z a k ， q b = s b + x b i + y b j + z b k q\_a=s\_a+x\_ai+y\_aj+z\_ak，q\_b=s\_b+x\_bi+y\_bj+z\_bk qa=sa\+xai\+yaj\+zak，qb=sb\+xbi\+ybj\+zbk

1.  加减法：  
    ![在这里插入图片描述][2019071215544010.png]
2.  乘法：把   q a \\ q\_a  qa的每一项与   q b \\ q\_b  qb相乘，最后相加，按照实部和虚部分别整理

![在这里插入图片描述][2019071215555288.png]  
         用向量和内外积形式表示：  
![在这里插入图片描述][20190712160038204.png]  
        在乘法定义下，两个实数的四元数乘积仍是实的，这与负数也是一致的。  
  
        **注意四元数乘法是不可交换的**，除非    v a \\ v\_a  va 和    v b \\ v\_b  vb 在   R 3 \\ R^3  R3 中共线，此时外积项为零。

1.   共轭：把虚部取成相反数

![在这里插入图片描述][2019071216045761.png]  
        四元数共轭与其本身相乘，得到一个实四元数，其实部为模长的平方：  
![在这里插入图片描述][20190712160527241.png]

1.   模长 ：各个部系数平方和开根号  
    ![在这里插入图片描述][20190712161341844.png]        两个四元数乘积的模等于模的乘积，对于单位四元数，则意味着单位四元数乘积仍为单位四元数：  
    ![在这里插入图片描述][20190712161456649.png]
2.   逆：  
    ![在这里插入图片描述][20190712161546189.png]  
            四元数和自己的逆的乘积为实四元数   1 \\ 1  1：  
    ![在这里插入图片描述][20190712161719200.png]  
            如果   q \\ q  q为单位四元数，其逆和共轭就是同一个量。  
      
            乘积取逆等于交换顺序取逆的乘积：  
    ![在这里插入图片描述][20190712161820632.png]
3.   数乘和点乘：  
            与向量相似，四元数可以与数相乘：  
    ![在这里插入图片描述][20190712162110306.png]  
            点乘是指，两个四元数每个位置上的数值分别相乘：  
    ![在这里插入图片描述][20190712162127359.png]

## 用四元数表示旋转 ##

假设一个三维空间的点   p = \[ x , y , z \] ∈ R 3 \\ p=\[x,y,z\]∈R^3  p=\[x,y,z\]∈R3，以及一个由轴角   n , θ \\ n,θ  n,θ指定的旋转。三维点   p \\ p  p经过旋转之后变成    p ′ \\ p^\{′\}  p′  
  用矩阵描述，则有   p ′ = R p \\ p^\{′\}=Rp  p′=Rp  
  把这个三维空间的点用虚四元数描述：  
![在这里插入图片描述][20190708142400662.png]  
  相当于把四元数的3个虚部与空间中的3个轴相对应。  
  用四元数   q \\ q  q表示这个旋转：  
![在这里插入图片描述][20190708142624986.png]  
  则旋转后的向量为：   p ′ = q p q − 1 \\ p^′=qpq^\{−1\}  p′=qpq−1  
  计算结果的实部仍然为0，故为纯虚四元数。其虚部的3个分量表示旋转后   3 D \\ 3D  3D点的坐标。

## 四元数到旋转矩阵的转换 ##

**四元数==>旋转矩阵：** 设四元数   q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k \\ q=q\_0+q\_1i+q\_2j+q\_3k  q=q0\+q1i\+q2j\+q3k ，对应的旋转矩阵为：  
![在这里插入图片描述][20190708143658202.png]  
  **旋转矩阵==>四元数：** 设矩阵为    R = m i j , i , j ∈ \[ 1 , 2 , 3 \] \\ R=\{m\_\{ij\}\},i,j∈\[1,2,3\]  R=mij,i,j∈\[1,2,3\]，则对应的四元数为：  
![在这里插入图片描述][2019070814391719.png]  
  由于   q \\ q  q和   − q \\ -q  −q表示同一个旋转，一个    R \\ R  R 对应的四元数表示并不唯一。

# 相似、仿射、射影变换 #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3podWlxaXV6aHVveXVlNTgz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

*  **（a）相似变换：** 圆被影像为圆，方砖被影像为正方形。形状不变，只改变了图像的大小。
 *  **（b）仿射变换：** 圆被影像为椭圆，方砖被影像为平行四边形。**平行不变性**，在仿射变换之后，虽然原来的图形变样了，但原来平行的直线，仍然是平行的。
 *  **（c）射影变换：** 平行世界的线被影像为聚线。近大远小，离摄像机近的方砖的图像比远的大。**直线不变性**，射影变换之后，原来的直线，仍然还是直线。

## 相似变换 ##

相似变换比欧氏变换多了一个自由度，它允许物体进行均匀的缩放，其矩阵如下：  
![在这里插入图片描述][20190708145356443.png]  
     s \\ s  s称为缩放因子，表示在对向量旋转之后，可以在    x , y , z \\ x,y,z  x,y,z 三个坐标上进行均匀的缩放。  
  由于含有缩放，相似变换后不再保持图形的面积不变。

## 仿射变换 ##

仿射变换也称正交投影，变换矩阵如下:  
![在这里插入图片描述][20190708150336414.png]  
  仿射变换只要求 A 是一个可逆矩阵，而不必是正交矩阵。  
  经过仿射变换之后，立方体就不再是方的了，但是各个面仍然是平行四边形。

## 射影变换 ##

摄影变换是最一般的变换，变换矩阵为：  
![在这里插入图片描述][20190708151331187.png]  
  左上角为可逆矩阵   A \\ A  A，右上角为平移   t \\ t  t ，左下角为缩放$ a^T$。  
  
  采用齐次坐标，当    v \\ v  v≠0 时，对整个矩阵除以   v \\ v  v 得到一个右下角为1的矩阵，否则得到右下角为0的矩阵。  
  
     2 D \\ 2D  2D 的射影变换一共有 8 个自由度，   3 D \\ 3D  3D 则共有 15 个自由度。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3podWlxaXV6aHVveXVlNTgz_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
参考：[https://blog.csdn.net/weixin\_40883049/article/details/86567439\#311\_\_3][https_blog.csdn.net_weixin_40883049_article_details_86567439_311_3]  
          [https://blog.csdn.net/qq\_35604674/article/details/88606959][https_blog.csdn.net_qq_35604674_article_details_88606959]

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[20190708134752559.png]: /images/20211213/3d7673cf3a7f4061b66df3cc03219611.png
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