进制转换

梦里梦外; 2021-12-12 02:09 1060阅读 0赞

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。

进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。

可见，进制的用途是十分广泛的，尤其在计算机方面，准确的进行进制转换尤为重要。

下面谈谈进制转换的方法。

一般常见的进制有二进制，八进制，十进制，十六进制。 下面就这几个常见的做介绍。

开始之前，介绍一些基本概念

**基数概念**:基数是一个正整数，它等于相邻数位上权的比。对任意一种进制的数，基数和能选用的个数相等，能选用的最大数码要比基数小1，每个数位能表示的最大数值是最大数乘以该闰具有的权，当超过这个数值时要向高位进位。基数是一个正整数，它和进制相等即能选用的最大数码要比基数小1，如2，8，10，16（分别对应于2，8，10，16进制）  
  
**权的概念**:权是一个与相应数位有关的常数，它与该数位的数码相乘后，就可得到该数位的数码代表的值。一个数码处理不同位置时，所代表的数值是不同的，因为它拥有的权不同。权与该数位的位置有关，如十进制数123，1的权就是10^2=100,2权是10^1=10,依次类推~对于16进制数9f8，9的权是16^2,f的权是16^1,8的权16^0

一、 十进制与二进制之间的转换

## ①十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分  ##

### （1）整数部分  ###

**方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。**

下面举例：

例：将十进制的168转换为二进制  
  
得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）2   
第一步，将168除以2,商84,余数为0。   
第二步，将商84除以2，商42余数为0。   
第三步，将商42除以2，商21余数为0。   
第四步，将商21除以2，商10余数为1。   
第五步，将商10除以2，商5余数为0。   
第六步，将商5除以2，商2余数为1。   
第七步，将商2除以2，商1余数为0。   
第八步，将商1除以2，商0余数为1。   
第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000

### （2） 小数部分  ###

**方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分 为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数，**

下面举例：   
例1：将0.125换算为二进制   
  
得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）2   
第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;   
第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;   
第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;   
第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。   
  
  
例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）   
  
  
大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。   
那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111   
上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是：   
1） 十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换   
2） 当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法   
3） 注意他们的读数方向   
因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。

### （3） 二进制转换为十进制（ 不分整数和小数部分）  ###

方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。 即从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位 ，第n位的数（0或1）乘以2的n次方， 得到的结果相加就是答案 。

例 1.将二进制数101.101转换为十进制数。   
  
得出结果：（101.101）2=(5.625)10

又如：

例如:01101011.转十进制:

1乘2的0次方=1  
1乘2的1次方=2   
0乘2的2次方＝0   
1乘2的3次方＝8   
0乘2的4次方＝0   
1乘2的5次方＝32   
1乘2的6次方＝64   
0乘2的7次方＝0   
然后：1＋2＋0 ＋8＋0＋32＋64＋0＝107．   
二进制01101011＝十进制107

大家在做二进制转换成十进制需要注意的是   
**1） 要知道二进制每位的权值   
2） 要能求出每位的值**

# 二、 二进制与八进制之间的转换  #

首先，我们需要了解一个数学关系，即2的三次方=8，2的四次方=16，而八进制和十六进制是用这 关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。   
接着，记住4个特殊的数字8、4、2、1（2的3次方=8、2的2二次方=4、2的1次方=2、2的0次方=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。

## （1） 二进制转换为八进制  ##

**方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。**

例   
①将二进制数101110.101转换为八进制   
  
得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5

从小数点往左右每3位进行划分，不足补零，得： 101 －110.101

逐个转换成八进制 101---5, 110---6, 101---5。 故转位八进制为56.5

② 将二进制数1101.1转换为八进制  
  
得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4

## （2） 将八进制转换为二进制  ##

**方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。**

**转换规律为**

**000 ----0, 001 ---- 1, 010 ---- 2, 011 ---- 3,   
100 ---- 4, 101 ---- 5, 110 ---- 6, 111 --- 7.**

例：   
① 将八进制数67.54转换为二进制   
因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011

又如：

转换二进制数 1110101010100 那么分组为

001 －110 －101－ 010 －100 按照转换方法对应转换

1 －6 － 5 － 2 － 4  
所以 1110101010100(2) = 16524(8)

大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制   
**首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变   
然后，按每位展开为2的2次方，2的1次方，2的0次方（即4、2、1）三位去做凑数，即a×4+ b×2 +c×1=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数   
接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列   
最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。**   
以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是   
**1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换   
2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误**

# 三、 二进制与十六进制的转换  #

方法：与二进制与八进制转换相似，只不过是一位（十六）与四位（二进制）的转换，下面具体讲解

## （1） 二进制转换为十六进制  ##

**方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。**

**转换规律：**

**0000----0, 0001----1, 0010----2, 0011----3, 0100----4, 0101----5, 0110----6, 0111----7,**

**1000----8,**  **1001----9, 1010----A, 1011----B, 1100----C, 1101----D, 1110----E, 1111----F**

①例：将二进制11101001.1011转换为十六进制

按方法，每从小数点向左右每四位进行划分，得 1110-－－1001，1011 转化为十六进制为 E---9,B。

得到结果：将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B   
  
  
② 例：将101011.101转换为十六进制   
  
因此得到结果：将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A

## (2)将十六进制转换为二进制  ##

**方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。**   
①将十六进制6E.2转换为二进制数   
分别把6 , E, 2 化成二进制，（4位表示）  
因此得到结果：将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010即110110.001

# 四、八进制与十六进制的转换  #

**方法：一般不能互相直接转换，一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。那么相应的转换请参照上面二进制与八进制的转换和二进制与十六进制的转**

# 五、八进制与十进制的转换  #

## （1）八进制转换为十进制  ##

**方法：按权相加法，即将八进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。**

**八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……**   
 例

设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：  
用竖式表示八进制数1507换算成十进制:  
第0位 7 \* 8的0次方 = 7  
第1位 0 \* 8的1次方 = 0  
第2位 5 \* 8的2次方 = 320  
第3位 1 \* 8的3次方 =512  
结果为839  
同样，我们也可以用横式直接计算： 7 \* 80 + 0 \* 81 + 5 \* 82 + 1 \* 83 = 839，

八进制数 1507 转换成十进制数为 839

## （2）十进制转换为八进制  ##

十进制转换成八进制有两种方法：   
**1）间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制   
2）直接法：前面我们讲过，八进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换，下面来具体讲解一下：**

### ①整数部分  ###

**方法：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。**

如何将十进制数120转换成八进制数.用表格表示：   
被除数 计算过程 商 余数   
120 120/8 15 0   
15 15/8 1 7   
1 1/8 0 1   
120转换为8进制，结果为：170

### ②小数部分  ###

**方法：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。**

和十进制转八进制基本类似。  
  
上面的方法大家可以验证一下，你可以先将十进制转换，然后在转换为八进制，这样看得到的结果是否一样

# 六、十六进制与十进制的转换  #

和八进制基本类似，大家可以自行思考总结。

如5A，将5乘以16得80，加上A的10进制10，结果是90。

但我们只有0~9这十个数字，

所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。

字母不区分大小写。 十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X \* 16的N次方。

假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?  
用竖式计算十六进制2AF5换算成十进制:  
第0位: 5 \* 16的0次方 = 5  
第1位: F \* 16的1次方 = 240  
第2位：A \* 16的2次方 = 2560  
第3位：2 \* 16的3次方 = 8192  
结果是10997  
直接计算就是： 5 \* 160 + F \* 161 + A \* 162 + 2 \* 163 = 10997

(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)

现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？

你尽可以给他这么一个算式： 1234 = 1 \* 103 + 2 \* 102 + 3 \* 101 + 4 \* 100

上面介绍了笔头进制转换得常用方法，只要掌握了方法，其实不难得。

**下面，通过代码，我们写一个任意进制间转换得小程序。 （问题来自《c程序设计竞赛实训教程》）**

问题描述：将p进制数转换为R进制数

输入：数据包括多行，每行包括三个数据，分别为P,R,和待转换得P进制数，如果数据有字母，规定大写格式。当输入得数据中P为0得时候表示输入结束。

问题分析：

题目要将P进制数转换成R进制数，可分为两步来完成：先将P进制数转化成十进制数，再将十进制数转换R进制数。

由于数据具体进制不确定。故只能用数组来存放数据，数据中每一位数字存放在一个数组元素中。

下面是实现代码，读者可自行先试着写写，再参考下面得代码。

#include <stdio.h>
    #include <string.h>
    
    int main(int argc, const char * argv[])
    {
    
        int i, k, n, p, r;
        char d[31];
        long m;
        
        while (1)
        {
            scanf("%d%d%s",&p,&r,&d);   // 读入p，r，d  其中d为字符串格式
            if (p==0)
            {
                break;
            }
            m = 0;
            k = 1;
            
            for (i=strlen(d)-1; i>=0; i--)   //将p进制转换为十进制
            {
                if (d[i]<='9')
                {
                    m+=(d[i]-'0')*k;  //若为数字字符，转换为数值乘以p的i次方
                }
                else
                {
                    m+=(d[i]-'A'+10)*k; //为字母字符，转换成数值乘以p的i次方
                }
                
                k = k*p;
            }
            
            d[30] = '\0';   //保存转换结果
            k = 30;
            while (m!=0)              //将m中的十进制转换成r进制存放在d［］中
            {
                n = m % r;            //取地位
                if (n>=10)    
                {
                    d[--k] = n - 10 + 'A';   //大于10的进制用字母表示
                }
                else
                {
                    d[--k] = n + '0';   //用数字字符表示
                }
                m = m / r;
            }
            
            printf("%s\n",&d[k]);   //输出结果
        }
        return 0;
    }