分治法-Strassen矩阵乘法

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2021-12-09 23:17 351阅读 0赞

**算法思想：分治法**  
**实际问题：Strassen 矩阵乘法**  
**编写语言：Java**

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# 问题描述 #

我们知道，两个大小为 2 \* 2 的矩阵相乘，一般需要进行 8 次乘法。而Strassen矩阵乘法可以减少一次乘法，只需要 7 次，看似很少，但当数据量很大时，效率就会有显著提升。不过使用 Strassen矩阵乘法需要满足 矩阵边长为 2 的幂次方。因为该算法会用到分治，如果分治后矩阵两边边长不等，结果会出错。

使用下面的方法计算结果矩阵，假设两个长度为 2 的矩阵是 A，B，相乘后的结果矩阵为 C：

M1 = A11(B12 - B22) 注：Anm 表示 A 矩阵第 n 行 k 列的值，Bnm，Cnm 同理
        M2 = (A11 + A12)B22
        M3 = (A21 + A22)B11  
        M4 = A22(B21 - B11)
        M5 = (A11 + A22)(B11 + B22)
        M6 = (A12 - A22)(B21 + B22)
        M7 = (A11 - A21)(B11 + B12)

可得结果为：

C11 = M5 + M4 - M2 + M6
        C12 = M1 + M2
        C21 = M3 + M4
        C22 = M5 + M1 - M3 - M7

# Java代码 #

public class StrassenMatrixMultiply { public static void main(String[] args) { int[] a = new int[] { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 }; int[] b = new int[] { 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 }; int length = 4; int[] c = sMM(a, b, length); for(int i = 0; i < c.length; i++) { System.out.print(c[i] + " "); if((i + 1) % length == 0) //换行 System.out.println(); } } public static int[] sMM(int[] a, int[] b, int length) { if(length == 2) { return getResult(a, b); } else { int tlength = length / 2; //把a数组分为四部分，进行分治递归 int[] aa = new int[tlength * tlength]; int[] ab = new int[tlength * tlength]; int[] ac = new int[tlength * tlength]; int[] ad = new int[tlength * tlength]; //把b数组分为四部分，进行分治递归 int[] ba = new int[tlength * tlength]; int[] bb = new int[tlength * tlength]; int[] bc = new int[tlength * tlength]; int[] bd = new int[tlength * tlength]; //划分子矩阵 for(int i = 0; i < length; i++) { for(int j = 0; j < length; j++) { /* * 划分矩阵： * 例子：将 4 * 4 的矩阵，变为 2 * 2 的矩阵， * 那么原矩阵左上、右上、左下、右下的四个元素分别归为新矩阵 */ if(i < tlength) { if(j < tlength) { aa[i * tlength + j] = a[i * length + j]; ba[i * tlength + j] = b[i * length + j]; } else { ab[i * tlength + (j - tlength)] = a[i * length + j]; bb[i * tlength + (j - tlength)] = b[i * length + j]; } } else { if(j < tlength) { //i 大于 tlength 时，需要减去 tlength，j同理 //因为 b，c，d三个子矩阵有对应了父矩阵的后半部分 ac[(i - tlength) * tlength + j] = a[i * length + j]; bc[(i - tlength) * tlength + j] = b[i * length + j]; } else { ad[(i - tlength) * tlength + (j - tlength)] = a[i * length + j]; bd[(i - tlength) * tlength + (j - tlength)] = b[i * length + j]; } } } } //分治递归 int[] result = new int[length * length]; //temp：4个临时矩阵 int[] t1 = add(sMM(aa, ba, tlength), sMM(ab, bc, tlength)); int[] t2 = add(sMM(aa, bb, tlength), sMM(ab, bd, tlength)); int[] t3 = add(sMM(ac, ba, tlength), sMM(ad, bc, tlength)); int[] t4 = add(sMM(ac, bb, tlength), sMM(ad, bd, tlength)); //归并结果 for(int i = 0; i < length; i++) { for(int j = 0; j < length; j++) { if(i < tlength) { if(j < tlength) result[i * length + j] = t1[i * tlength + j]; else result[i * length + j] = t2[i * tlength + (j - tlength)]; } else { if(j < tlength) result[i * length + j] = t3[(i - tlength) * tlength + j]; else result[i * length + j] = t4[(i - tlength) * tlength + (j - tlength)]; } } } return result; } } public static int[] getResult(int[] a, int[] b) { int p1 = a[0] * (b[1] - b[3]); int p2 = (a[0] + a[1]) * b[3]; int p3 = (a[2] + a[3]) * b[0]; int p4 = a[3] * (b[2] - b[0]); int p5 = (a[0] + a[3]) * (b[0] + b[3]); int p6 = (a[1] - a[3]) * (b[2] + b[3]); int p7 = (a[0] - a[2]) * (b[0] + b[1]); int c00 = p5 + p4 - p2 + p6; int c01 = p1 + p2; int c10 = p3 + p4; int c11 = p5 + p1 -p3 - p7; return new int[] {c00, c01, c10, c11}; } public static int[] add(int[] a, int[] b) { int[] c = new int[a.length]; for(int i = 0; i < a.length; i++) c[i] = a[i] + b[i]; return c; } //返回一个数是不是2的幂次方 public static boolean adjust(int num) { return (num & (num - 1)) == 0; } }

# 运行结果 #

![结果示例][1571403-20190523163740219-1102821121.jpg]

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