编程之美:平面最近点对

电玩女神 2021-11-26 11:38 440阅读 0赞

> 一.概念引入
> 
>         最接近点对问题的提法是:给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。
> 
>         最简单的就是直接暴力，也可以分治，使用分治的话关键是如何合并，如果两边都是n/2个点比较的话，合并的时间是O(n^2)，那么T(n)=2T(n/2)+O(n2)，它的解为T(n)=O(n2)，还是没什么优势，这就引导我们去优化合并算法。
> 
>         为了找到一个有效的合并算法，可以先考虑一维情形，看下图：
> 
> [![0][]][0 1]
> 
>         假设左右两边的最小距离是ans=\{ans1,ans2\}，很有可能最小距离分别存在于直线两端p3、q3，如果真是这样，则一定在p3∈(m-δ,m\]，q3∈(m,m+δ\]，且根据鸽巢原理，在这两个半闭区间只有一个点，否则就违背了ans的定义(两边存在更小距离)，关键是选好划分点，最坏T(n)=T(n-1)+O(n)，它的解是T(n)=O(n2)，这种效率降低的现象可以通过适当选择分割点m，使左右两边有大致相等个数的点。
> 
>         下面看二维情形：
> 
> [![0][0 2]][0_0 2]
> 
>         考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有dis(p,q)<ans(图中的sigma)。满足这个条件的P2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个δ×2δ的矩形R中，由δ的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2δ的边3等分，将它的长为δ的边2等分，由此导出6个（δ/2）×（2δ/3）的矩形，如下图
> 
> [![0][0 3]][0_0 3]
> 
>         若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。设u,v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则因此d(u,v)≤5δ/6<δ 。这与δ的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图4(b)是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者，而不是n2/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。
> 
>         参考资料：[http://blog.csdn.net/junerfsoft/article/details/2975495][http_blog.csdn.net_junerfsoft_article_details_2975495]
> 
> 二.算法Java实现
> 
>         以hdu1007为例，果断AC……
> 
>     import java.util.*;
>     /*
>      * x轴排序tle，y轴果断ac
>      */
>     public class HDU1007 {
>     
>         public static void main(String[] args) {
>             new DK().go();
>         }
>     }
>     
>     class Point implements Comparable<Point>{
>         double x;
>         double y;
>         
>         public Point() {
>             this.x = 0;
>             this.y = 0;
>         }
>     
>         @Override
>         public int compareTo(Point obj) {
>             Point other = obj;
>             if(this.y!=other.y) {
>          //由小到大排序
>                 return (int)Math.ceil(this.y - other.y);
>             }
>             return (int)Math.ceil(this.x - other.x);
>         }
>     }
>     
>     class DK {
>     
>         double x;
>         double y;
>         Point point[];
>         int a[];
>         
>         public void go() {
>             Scanner sc = new Scanner(System.in);
>             while(true) {
>                 int n = sc.nextInt();
>                 if(0==n) {
>                     break;
>                 }
>                 point = new Point[n];
>                 for(int i=0; i<n; i++) {
>                     point[i] = new Point();
>                 }
>                 for(int i=0; i<n; i++) {
>                     x = sc.nextDouble();
>                     y = sc.nextDouble();
>                     point[i].x = x;
>                     point[i].y = y;
>                 }
>                 Arrays.sort(point);
>     //            for(int i=0; i<n; i++) {
>     //                System.out.println(point[i].x+" "+point[i].y);
>     //            }
>                 a = new int[n];
>                 double ans = solve(0,n-1)/2;
>                 System.out.println(String.format("%.2f", ans));
>             }
>         }
>         private double solve(int left, int right) {
>             double ans = 1e-7;
>             if(left==right) {
>                 return ans;
>             }
>             if(left==right-1) {
>                 return distance(point[left], point[right]);
>             }
>             int mid = (left+right)>>1;
>             double ans1 = solve(left,mid);
>             //注意：不是mid+1
>             double ans2 = solve(mid,right);
>             ans = Math.min(ans1,ans2);
>             int j = 0;
>             for(int i=left; i<=right; i++) {
>                 if(Math.abs(point[i].y-point[mid].y)<=ans) {
>                     a[j++] = i;
>                 }
>             }
>             /*
>              * 加上下面的排序就AC，否则WA，我认为至多TLE，
>              * 因为扫描的是和point[i]最相近的两个矩形2*ans区间
>              */
>             //不知道如何用comparator接口实现间接排序，所以就写了个选择排序
>             mySort(a,j);
>             for(int i=0; i<j; i++) {
>                 for(int k=i+1; k<j&&Math.abs(point[a[i]].x - point[a[k]].x)<ans; k++) {
>                     double dis = distance(a[i], a[k]);
>                     if(ans>dis) {
>                         ans = dis;
>                     }
>                 }
>             }
>             return ans;
>         }
>         private void mySort(int[] a, int j) {
>             for(int i=0; i<j; i++) {
>                 for(int k=i+1; k<j; k++) {
>                     if(point[a[i]].x<point[a[k]].x) {
>                         int temp = a[i];
>                         a[i] = a[k];
>                         a[k] = temp;
>                     }
>                 }
>             }
>         }
>         private double distance(Point p1, Point p2) {
>             double dis = Math.hypot(p1.x-p2.x, p1.y-p2.y);
>             return dis;
>         }
>         private double distance(int i, int j) {
>          //point搞为成员变量
>             double dis = Math.hypot(point[i].x-point[j].x, point[i].y-point[j].y);
>             return dis;
>         }
>     }
>     //class Com implements Comparator<Point> {
>     //
>     //    @Override
>     //    public int compare(Point o1, Point o2) {
>     //        
>     //        return o1.y - o2.y;
>     //    }
>     //}

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