数据结构 —— 图解AVL树(平衡二叉树)插入节点的变化

怼烎@ 2021-11-16 12:02 334阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  1、前提
     *  2、示例1
     *  3、示例2
     *  4、 参考文章：

## 1、前提 ##

学习本文章之前提是必须先了解 AVL树(平衡二叉树)的定义：  
https://blog.csdn.net/xiaojin21cen/article/details/97602146

本文通过插入若干节点，学习 AVL树的左旋、右旋、左右旋、右左旋的变化。

## 2、示例1 ##

初始状态如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

然后我们插入数值：

1、4、5、6、7、10、9、8

1.1、插入 1：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

插入1后，节点3失去平衡，是左-左型，需要右旋调整：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

1.2、插入4：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

1.3、继续插入 5 ：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

插入5后，节点2、3失去平衡，是右-右型，左旋转：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

1.4、继续插入6 ：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

插入5后，节点2、3失去平衡，变成右-右型，需要进行左旋：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

1.5、继续插入7：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

插入7后，节点5失去平衡，变成右-右型，需要进行左旋：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

1.6、继续插入10 ：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

1.7、继续插入9 ：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

出现了这种情况怎么办呢?对于这种 **右-左型**的情况，单单一次左旋或右旋是不行的，下面我们先说说如何处理这种情况。

**1.8、举列说明**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

上面的这种我们就把它称之为**右-左 型**。

处理的方法是 **先对节点10右旋转，把它变成右-右型：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]

**对它进行右旋再左旋：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

所以对于这种**右-左型的，我们需要进行一次右旋再左旋**。

同理，也存在**左-右型**的，例如：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]

对于左-右型的情况和刚才的 右-左型相反，对它先进行一次左旋，再右旋。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]

**1.9、回到原题上** ，插入 9 后，变成了右左型，需要进行右左旋转：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

## 3、示例2 ##

1、新建AVL树  
新建AVL树的根节点root。

3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9

2、依次添加 到AVL树中，过程如下。

2.1、添加 3、2

添加 `3,2` 都不会破坏AVL树的平衡性。  
![在这里插入图片描述][20190728071349600.jpg]

2.2、添加 1  
添加 `1` 之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]

2.3、添加 4  
添加 `4` 不会破坏AVL树的平衡性。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]

2.4、添加 5  
添加 `5` 之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]

2.5、添加 6  
添加 `6` 之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]

2.6、添加 7  
添加 `7` 之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]

2.7、添加 16  
添加 `16` 不会破坏AVL树的平衡性。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]

2.8、添加 15  
添加 `15` 之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]

2.9、添加 14  
添加 `14` 之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]

2.10、添加 13  
添加 `13` 之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]

2.11、添加 12  
添加 `12` 之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]

2.12、添加11  
添加 `11` 之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 28]

2.13、添加10  
添加 `10` 之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 29]

2.14、添加 8  
添加 `8` 不会破坏AVL树的平衡性。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 30]

2.15、添加 9  
但是添加 `9` 之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。

旋转过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 31]

3、打印树的信息

输出下面树的信息：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 32]

前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16
    中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7
    高度: 5
    最小值: 1
    最大值: 16

4、删除节点8

删除操作并不会造成AVL树的不平衡。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 33]

删除节点8之后，在打印该AVL树的信息。

高度: 5
    中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16

## 4、 参考文章： ##

https://www.cnblogs.com/zhuwbox/p/3636783.html

https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20211116/0a8231a57c974d4aa7d1443484119f40.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20211116/c0bc543c75554dddb8d6b0bd34cd278b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20211116/4560339249ed4fd785f0a35b53b1d1d5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20211116/b662784cfa4d4e939d45ae2e1291fd2d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20211116/b4f265b525814defae64f557783c60c5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20211116/f005534dde464843879811399075377c.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20211116/7ba5a1ccd8454e238b0e5ba1d4943872.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20211116/8f40747923124f509463e0cd0a2bfd7c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: /images/20211116/52927d26a30f4b4c93d61bf286f95141.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: /images/20211116/03ada6da75884599850fa30e76ad5fb1.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]: /images/20211116/d006e563dac14012a0334d8634ddcd20.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]: /images/20211116/b67bf1ecf2c54d5894ed16cbad988dba.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]: /images/20211116/e18ee3b15be3407096d07794839947b4.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]: /images/20211116/716a6fc44c754faeaef36b825eda419b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]: /images/20211116/120db968909842ada686591f068130d6.png
[20190728071349600.jpg]: /images/20211116/05e2f618dc9e42c791a00c96fbd4513c.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]: /images/20211116/8e0009c845f64c7a9da1f0024d98ac74.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]: /images/20211116/d6e9e46af1504d34ba1392cbe37cb002.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]: /images/20211116/0c53040563624c789299b90eea1d910a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hpYW9qaW4yMWNlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]: /images/20211116/a85c9f5c285641db82660efeacf66381.png
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