【容斥】[ZJOI2016] 小星星

水深无声 2021-11-16 10:10 279阅读 0赞

### 题目描述 ###

小Y是一个心灵手巧的女孩子，她喜欢手工制作一些小饰品。她有n颗小星星，用m条彩色的细线串了起来，每条细线连着两颗小星星。有一天她发现，她的饰品被破坏了，很多细线都被拆掉了。这个饰品只剩下了n?1条细线，但通过这些细线，这颗小星星还是被串在一起，也就是这些小星星通过这些细线形成了树。小Y找到了这个饰品的设计图纸，她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。如果现在饰品中两颗小星星有细线相连，那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连。小Y想知道有多少种可能的对应方式。只有你告诉了她正确的答案，她才会把小饰品做为礼物送给你呢。

#### 输入格式 ####

第一行包含个2正整数n,m，表示原来的饰品中小星星的个数和细线的条数。 接下来m行，每行包含2个正整数u,v，表示原来的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。 这里的小星星从1开始标号。保证u≠v，且每对小星星之间最多只有一条细线相连。 接下来n-1行，每行包含个2正整数u,v，表示现在的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。 保证这些小星星通过细线可以串在一起。 n<=17,m<=n\*(n-1)/2

#### 输出格式 ####

输出共1行，包含一个整数表示可能的对应方式的数量。 如果不存在可行的对应方式则输出0。

#### 样例 ####

#### 样例输入 ####

4 3
    1 2
    1 3
    1 4
    4 1
    4 2
    4 3

#### 样例输出 ####

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## 背景 ##

这个题真的是GG

题目中一点暗示都没有，我还是凭常年wa题的经验才把 long long开起来的QAQ

真是\*\*\*\*\*。

考场上我WA了3次，第一次50，错因应该就是爆int。

第二次我以为我的 tree DP 给wa掉了，改了个限制条件。

第三次我终于意识到 long long 的事情了，但是我没改限制条件。

第四次我终于AC了。

QAQ

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## 思路分析 ##

首先，这个题，特别容易看错【如果不看样例的话绝对会理解出错，比如我。

我一看这个题，觉得是一个求生成树的问题。

emmm或者说是通过生成树倒退原图的过程。

就在我苦思冥想怎么做的时候，我瞄了一眼样例。

QAQ 已经给出原图，给出生成树了。

？？？？？？什么鬼啊？？？？？？？？？

回去看题面，发现里面有一句这样的话：

> 她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。

也就是说，剪掉一些线之后，星星的编号变了。

？？？？？？什么意思啊？？？？？？？？

这个时候，我们发现其实每个节点究竟是什么已经不重要了。

重要的是， 哪两个点之间有着连接的关系。

所以这题就变成了，给定一些连接关系，求满足下列关系的组合有多少个？

那么，很显然，我们可以直接计算每个点映射之后会形成的方案数。【对于每个位置可选的方案数称起来就可以了

考虑 dp\[ i \]\[ j \] 在限制S下的含义为： 树中的点只能映射原图上属于集合 S 的点 ，i 点映射到 j 点 在以 i 为根的子树中的方案。

这个时候，手玩两组数据，就会发现，多算了。

在映射的时候，有可能把好多个节点都标号成了同一个。

那么就需要把这些方案数减去。

然后我就想到了容斥。【可能我本来容斥就学的不错，一下就想到了

假设，在限制S下的映射方案数为ans\[S\] ，只许映射到S且S集合中每个点都被至少映射一次的方案数为 calc \[S\] 。

那么显然的是 : ans\[S\] = Σ calc \[T\]  （其中T是S的一个子集）。

所以我们容斥从小到大计算出calc，最后calc\[2^n-1\]就是答案。

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## 代码实现 ##

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    #define ll long long 
    #define rint register int
    using namespace std;
    
    ll n,m,num;
    ll a[20][20],c[30],cnt[20];
    ll f[20][20],ans[140005];//ans表示选点集合只能是S子集的方案数
    vector<ll> v[20];
    
    void dp(ll x,ll fa) {
        for(rint i=1;i<=num;i++) 
            f[x][i]=1;
        for(rint i=v[x].size()-1;i>=0;i--) {
            ll to=v[x][i];
            if(to!=fa) {
                dp(to,x);
                for(rint j=1;j<=num;j++) {
                    ll nw=0;
                    for(rint k=1;k<=num;k++) 
                        if(a[cnt[j]][cnt[k]]) 
                            nw+=f[to][k];
                    f[x][j]*=nw;
                }
            }
        }
        return;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(rint i=1;i<=m;i++) {
            ll x,y;
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            a[x][y]=1;
            a[y][x]=1;
        }
        for(rint i=1;i<n;i++) {
            ll x,y;
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            v[x].push_back(y);
            v[y].push_back(x);
        }
        c[0]=1;
        for(rint i=1;i<=20;i++) 
            c[i]=c[i-1]<<1;
        for(rint i=1;i<c[n];i++) {
            num=0;
            memset(f,0,sizeof f);
            for(rint j=1;j<=n;j++)
                if(i&c[j-1]) 
                    cnt[++num]=j;
            dp(1,1);
            for(rint j=1;j<=num;j++)
                ans[i]+=f[1][j];
        }
        for(rint i=1;i<c[n];i++) 
            for(rint j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)
                ans[i]-=ans[j];
        cout<<ans[c[n]-1]<<endl;
        return 0;
    }

生气了，所以全部Longlong！！！！！！

转载于:https://www.cnblogs.com/qxyzili--24/p/11234294.html