[剑指offer]数组中逆序对的个数

桃扇骨 2021-11-16 06:18 296阅读 0赞

### 在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007 ###

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组\{7,5,6,4\}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

![aHR0cHM6Ly91cGxvYWRmaWxlcy5ub3djb2Rlci5jb20vZmlsZXMvMjAxODA1MDQvNzQ5MTY0MF8xNTI1NDAwNzIxNjc2XzIwMTcwNzEwMjIzNDI4NTky][]

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组\{7\}、\{5\}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组\{6\}、\{4\}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 **排序** 如上图（c）所示， **以免在以后的统计过程中再重复统计。**

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 **辅助数组（记为copy）** 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

![aHR0cHM6Ly91cGxvYWRmaWxlcy5ub3djb2Rlci5jb20vZmlsZXMvMjAxNzA3MTEvNzQ5MTY0MF8xNDk5NzM1NjkwNTAwXzIwMTcwNzExMDg1NTUwNzgz][]

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

class Solution {
    public:
        int InversePairs(vector<int> v) {
            
            int len=v.size();
    
            return mergeSort(v,0,len-1);
        }
        
        int mergeSort(vector<int>&v,int l,int r){
            if(l>=r)return 0;
            
            int m=(l+r)/2;
            int left=mergeSort(v,l,m)%1000000007;
            int right=mergeSort(v,m+1,r)%1000000007;
            
            int mid=merge(v,l,m,r)%1000000007;
            
            return (left+right+mid)%1000000007;
            
        }
        
        int merge(vector<int>&v,int l,int m,int r){
            int*tmp=new int[r-l+1];
            int i=m,j=r,ans=0,k=r-l;
            while(i>=l && j>=m+1){
                if(v[i]>v[j]){
                    ans+=j-m;
                    ans%=1000000007;
                    tmp[k--]=v[i--];
                }
                else
                    tmp[k--]=v[j--];
            }
            
            while(i>=l)tmp[k--]=v[i--];
            while(j>=m+1)tmp[k--]=v[j--];
            
            for(i=l,k=0;i<=r;)v[i++]=tmp[k++];
            
            delete[]tmp;
        	return ans;
        }
    };

[aHR0cHM6Ly91cGxvYWRmaWxlcy5ub3djb2Rlci5jb20vZmlsZXMvMjAxODA1MDQvNzQ5MTY0MF8xNTI1NDAwNzIxNjc2XzIwMTcwNzEwMjIzNDI4NTky]: /images/20211116/7e1bffa44456409c8efc71a20c63c73c.png
[aHR0cHM6Ly91cGxvYWRmaWxlcy5ub3djb2Rlci5jb20vZmlsZXMvMjAxNzA3MTEvNzQ5MTY0MF8xNDk5NzM1NjkwNTAwXzIwMTcwNzExMDg1NTUwNzgz]: /images/20211116/e337a29b46204276a6ee50e9d47f70d3.png