7.19

系统管理员 2021-11-11 01:50 317阅读 0赞

![1605842-20190721181554936-1236107559.png][]

如果不用树形dp，怎么做？

我们要使得士兵数量最少，那每个士兵要覆盖尽量多的节点

![1605842-20190721181851825-987153794.png][]

我们找到最深的叶子节点

![1605842-20190721181908757-2121964214.png][]

就是红色节点

我们以左边这个为例，如果要覆盖它，有4种放法

![1605842-20190721182318826-746110312.png][]

节点上的数字是第几种放法

显然情况四覆盖的节点最多

所以我们找到深度最深的节点，在它的爷爷上放上士兵，然后把它爷爷覆盖到的节点从树上删掉，然后重复这个操作，直到树为空

我们维护一个堆就可以做到删除节点

复杂度：O(nlogn)

![1605842-20190719081427608-1358682970.png][]

染色方案是个什么意思？

如果我们有k种分组方案，每种方案都有M种颜色可以染，那最终的染色方案就Mk

举个栗子：N=6时，有4种分组方案，答案就是M的4次方

4种：1组，每组6人

2组，每组3人

3组，每组2人

6组，每组1人

所以有多少种方案就是看N有多少个因数

可以for一遍，O(√n)计算有多少个因子

然后快速幂计算Mk

增强版

在上面我们没有考虑人的顺序

所以我们考虑人的顺序

例子：

![1605842-20190721182738289-1414431048.png][]

例如上面的分两组，就有了三种分法（其实不全）

怎么算？

假设我们现在要把这些人分成r组

第一组的方案数

![1605842-20190719082732382-761060134.png][]

第二组：这里因为第一组已经有N/r个人了，所以这里是N-N/r

![1605842-20190721183610452-320105433.png][]

第三组：因为又少了N/r个人，所以是N-2N/r

![1605842-20190719082824747-1121267758.png][]

第n组:到最后只剩下N/r个人了

![1605842-20190719082836407-1059664927.png][]

我们发现这里考虑了每组的顺序，所以我们还要在除以r!（例如这么算会有（123,456）和（456,123），但它们是同一种情况）

r!是r组的全排列

最终式子

![1605842-20190719082959117-313233885.png][]

那这玩意咋算呢？

把组合数拆一下

![1605842-20190719083227552-2063842485.png][]

以上是按照组合数公式拆分

我们发现可以约分

![1605842-20190719083312301-1512039267.png][]

约分

分r组的最终式子：

![1605842-20190719083348324-681515605.png][]

k的最终式子：

![1605842-20190721184233852-1536247949.png][]

最后求的是Mk%(109\-401)

那我们的k应该模多少呢？(109\-401)?

我们想起推逆元时用的欧拉定理：

![1605842-20190719083540444-279258147.png][]

Mφ(1e9-401)≡1 (mod 109\-401)

那Mk≡Mk%φ(1e9-401)  (mod 109-401)

那问题就转换成了这样

![1605842-20190719083845917-19137198.png][]

我们发现N!没法算（N是2\*109）

这个题的模数很奇怪啊

它会不会是一个质数？

它的确是个质数

那φ(109\-401)=109\-402

进行一番分解质因数操作

![1605842-20190719084234343-754379695.png][]

它的质因子都在10000以内，还不算太大

我们可以算N!mod这四个数分别是多少，然后乘起来，就是N!%109\-402

问题进一步被转化为N!%一个数是多少

假设我们要算N!%13

我们把N!奋进成这样的形式

![1605842-20190719084551821-392139943.png][]

我们尝试把1~N中所有的数%13(对13的倍数特殊处理)

现在我们的模数很小，所以会有循环节(指1~N中的数%13之后会有循环节)

![1605842-20190719084836938-328742475.png][]

我们先不考虑13的倍数，那假设我们有q个循环节，则最后的答案（不包括13的倍数）

是(12!)q%13

我们再考虑13的倍数，把它们都拿出来，全部/13,把剩下的数%13计算

![1605842-20190721191938400-2057464134.png][]

发现就是刚才的问题，那重复刚才的操作

这样就可以递归操作

复杂度log13N

大佬的式子(di就是要%的数）

n!=1\*2..(di-1)\*di\*(di+1)\*..\*(q\*di)\*(q\*di+1)...\*n （mod di)

=((di-1)! mod di)^q\*(n-q\*di)!\*q!\*(di)^q ( mod di)

=(-1)^q\*(n-q\*di)!\*q!\*di^q ( mod di)

以下是对第二步的分析

((di-1)! mod di)^q：上面刚讲了

(n-q\*di)!：因为N不一定是di的倍数，所以n-q\*di相当于n%di(计算剩下的“尾巴”)(例如n=1000,di=13的时候，q=7,n-q\*di=n%di=9,因此9就是这里的“尾巴”，这里(n-q\*di)!就是9!)

q!\*(di)^q ( mod di)：窝也不会了咕咕咕

![1605842-20190719085658475-188564142.png][]

![1605842-20190719092212303-511662869.png][]

这是个Nim石子问题

我们先随便砍一刀

![1605842-20190719091922971-771920202.png][]

这么砍相当于把黑格子到上边的距离变短

同理，在哪边砍，就相当于把黑格子到哪边的距离变短

这就相当于有四堆石子的Nim石子游戏问题，石子数量分别是(x-1),(y-1),(n-x),(m-y)

于是就可以把这四个都异或起来，就可以判定先手是否必胜

但是题目问有几种

我们可以枚举啊

![1605842-20190719092331950-1775733243.png][]

emmmmm

好大啊

长者说我国是数据结构强国，所以我们可以用数据结构（雾）

把式子变形

![1605842-20190719092524955-2055439587.png][]

![1605842-20190719092517159-1409966328.png][]

枚举所有的x,把左边算出来的数塞到数组里，然后就枚举y,看右边的结果在数组里出现了多少次

可以搞个桶排一般的数组，或者是排序后二分

安利网站codechef.com(CC)

![1605842-20190719093249171-1206670034.png][]

分组不要求连续

哥德巴赫猜想？！

![1605842-20190719094042992-1004623078.png][]

![1605842-20190719094116602-198061488.png][]

第二个已经被证明(证明见百度)

第一个在long long范围内是对的

![1605842-20190719094305955-472163400.png][]

一到n中所有数的和

s是偶数：输出2

s是奇数：N=2:s是质数：输出1

N≠2：看能拆成2个还是3个质数

拆成两个质数：这两个质数中一定有一个是2，所以看s-2是不是质数，如果是，输出2，不是，输出3

![1605842-20190719094737730-290012257.png][]

平面最远点对？？？(才没有辣么难)

先看看什么是曼哈顿距离

![1605842-20190719095358907-1262590411.png][]

我们不知道是第一头牛的y大还是第二头牛的y大

于是就有了两种情况

![1605842-20190719095606494-717304720.png][]

第一种情况是第一头牛的y大于第二头牛的y

第二种情况是第二头牛的y大于第一头牛的y

所以我们先按x+y排序，最大的减最小的，再按x-y排序，最大的减最小的

![1605842-20190719101222117-1681854558.png][]

不考虑复杂度神马的，我们可以算出来从第一个城市到第二个城市有多少条边

![1605842-20190719101827429-2120018392.png][]

转移考虑从哪个点走过来

![1605842-20190719101953202-1385742961.png][]

意思就是从起点走i步到j,中间一定会从起点走到k，再走一步到j，我们就枚举中间点k

复杂度：大概1024

能不能再快一点

如果把经过i条路到达的点的方案数看做一个矩阵

![1605842-20190719102224352-1447739365.png][]

![1605842-20190719102325602-1205351488.png][]

复杂度：O(n3logd)（大概1010）

还是慢了点

我们看题目中别扭的地方

算a到b的道路数目很鬼畜，而且复杂度还和k没有关系

那我们从k入手进行优化

![1605842-20190719102754416-1907754438.png][]

我们在存的时候就换一下维度，然后发现这时矩阵乘法

M=out\*in

![1605842-20190719102901343-2106099310.png][]

但是现在还是要n3,还是过不了

我们暴力的把括号打开

![1605842-20190719103034218-1331692750.png][]

矩阵有结合律，所以可以随便加括号

![1605842-20190719103125449-589954256.png][]

现在in\*out就是k\*k的矩阵

然后复杂度就变成了O(k3logd)

给一棵n个点的树，每个点有点权，保证点权在int范围内，有m次询问，每次给出两个点p1,p2,能否在p1到p2的路径上找出三个点，使得这三个点的点权能为一个三角形的三边长度

正难则反，我们想怎么不能构成三角形

如果出现这种情况就不能构成三角形了

![1605842-20190719104625408-7442166.png][]

当取等号的时候，就是斐波那契数列了

斐波那契数列是不能够组成三角形，而且每个点的点权尽可能小的情况

我们注意到题目里说了每个点的点权小于int ，那我们沿着斐波那契数列写下去，发现会有f43（大概是这个数）爆int,那下一个路径上的点权一定是在int以内，此时一定可以组成三角形，因此如果路径上点的数量超过42，就一定能够构成三角形。

否则呢？暴力呗。

找路径：当然是倍增求LCA辣

求个毛啊一步一步跳就好了反正不超过42步还好写

转载于:https://www.cnblogs.com/lcez56jsy/p/11212077.html

[1605842-20190721181554936-1236107559.png]: /images/20211109/9c42066e8e304324af39143082ff5c05.png
[1605842-20190721181851825-987153794.png]: /images/20211109/41e64ea29f7a41da968f400b8343ff0d.png
[1605842-20190721181908757-2121964214.png]: /images/20211109/68bc2a281ddb4a01b036ebec630a3a64.png
[1605842-20190721182318826-746110312.png]: /images/20211109/150e773e6e824ae3a320e89fcc9bee7b.png
[1605842-20190719081427608-1358682970.png]: /images/20211109/d480071c67be43d8ba71a7e71b649851.png
[1605842-20190721182738289-1414431048.png]: /images/20211109/dc2db6b176f6439ea91f5608ab0ee4a1.png
[1605842-20190719082732382-761060134.png]: /images/20211109/1486463900e24b25a80e4ea82ed492c7.png
[1605842-20190721183610452-320105433.png]: /images/20211109/f08842a152b6473e87319b50dc7fc5e0.png
[1605842-20190719082824747-1121267758.png]: /images/20211109/a7b216a24d844213ae58f19357e6b0e5.png
[1605842-20190719082836407-1059664927.png]: /images/20211109/8eedc682294c44389ab7bc5224c1be97.png
[1605842-20190719082959117-313233885.png]: /images/20211109/894040910dd1494da79bd218a2e2c21c.png
[1605842-20190719083227552-2063842485.png]: /images/20211109/75395b97b42842049100a2c1e0a0035e.png
[1605842-20190719083312301-1512039267.png]: /images/20211109/8978daba02064383bc235436488f73aa.png
[1605842-20190719083348324-681515605.png]: /images/20211109/5042383b153b45e99182d3230305dcdb.png
[1605842-20190721184233852-1536247949.png]: /images/20211109/4f141845f70841c4b1ddb1b24fd2f66b.png
[1605842-20190719083540444-279258147.png]: /images/20211109/827c592b12af4fcfa24060f223adff0e.png
[1605842-20190719083845917-19137198.png]: /images/20211109/7ba799caf82a4ee3845329929aedb5e4.png
[1605842-20190719084234343-754379695.png]: /images/20211109/d080dcf7ac384659a0e54798de8c021b.png
[1605842-20190719084551821-392139943.png]: /images/20211109/2ee7605b6c83434d8bef9574079bf147.png
[1605842-20190719084836938-328742475.png]: /images/20211109/1b4cf8f88b4e4fe4a9b42e2c1ece7d92.png
[1605842-20190721191938400-2057464134.png]: /images/20211109/b0f87e1764da4dbb858955e9a8bde1e9.png
[1605842-20190719085658475-188564142.png]: /images/20211109/212171646b59401a994821f810afebce.png
[1605842-20190719092212303-511662869.png]: /images/20211109/b6f7bd89cd8c4e5b8b508c1c6c8ff58e.png
[1605842-20190719091922971-771920202.png]: /images/20211109/a892ce50e39f4d7686fb9364e803533c.png
[1605842-20190719092331950-1775733243.png]: /images/20211109/900d178bd4014fac900a237bd04bc9b0.png
[1605842-20190719092524955-2055439587.png]: /images/20211109/bb5818d1fafa4f5bb732f90b8660a981.png
[1605842-20190719092517159-1409966328.png]: /images/20211109/cf4d0da0ba394d6f80b8c5d532d5b4ab.png
[1605842-20190719093249171-1206670034.png]: /images/20211109/9a0e5b1213f7440aacf61483b989cf46.png
[1605842-20190719094042992-1004623078.png]: /images/20211109/67f5def7469e4c28bc1d7a7406856e38.png
[1605842-20190719094116602-198061488.png]: /images/20211109/94d1047cf3604623a2702f896c137c66.png
[1605842-20190719094305955-472163400.png]: /images/20211109/0b257aa36a814615b344aa4969d16eb0.png
[1605842-20190719094737730-290012257.png]: /images/20211109/46669591ae534dc997e6322eb10b1137.png
[1605842-20190719095358907-1262590411.png]: /images/20211109/d1103277c906489e9ddea81d08700534.png
[1605842-20190719095606494-717304720.png]: /images/20211109/b53d24534dd6438e828acbc7b162bfef.png
[1605842-20190719101222117-1681854558.png]: /images/20211109/52070dfe4ffe4e479f24b4b71905121e.png
[1605842-20190719101827429-2120018392.png]: /images/20211109/eef17057b61044dd93bffd7f92a2a753.png
[1605842-20190719101953202-1385742961.png]: /images/20211109/151c69e2010a47d49628d5495442cf21.png
[1605842-20190719102224352-1447739365.png]: /images/20211109/7909471b4eac4c54b1e228b197dfeefd.png
[1605842-20190719102325602-1205351488.png]: /images/20211109/372601fd30654386b9a2fcb1dfbfb0c4.png
[1605842-20190719102754416-1907754438.png]: /images/20211109/c138bb4daa414432befb90849f0d7b5a.png
[1605842-20190719102901343-2106099310.png]: /images/20211109/f6bd090c87254b938337e1eece6e2da3.png
[1605842-20190719103034218-1331692750.png]: /images/20211109/e5ec9afa1df64dc4970b4d2a1cbee9fb.png
[1605842-20190719103125449-589954256.png]: /images/20211109/f3fbe2214582453ab66a156c52a4d466.png
[1605842-20190719104625408-7442166.png]: /images/20211109/9c8ad155231d48b99b7e602eadc97afe.png