置换笔记

系统管理员 2021-11-01 06:40 352阅读 0赞

# 置换 #

以前学过置换，但是由于当时太菜没有弄懂，只能从头来过

希望这次能懂qaq

## 圈 ##

讨论 \\(1\\) 至 \\(n\\) 的一个置换 \\(a\_1,a\_2,...,a\_n\\)，表示 1 被放到 \\(a\_1\\)，\\(2\\) 被放到 \\(a\_2\\) 处等

书写格式：  
\\(\\begin\{pmatrix\}1&2&...&n\\\\a\_1&a\_2&...&a\_n\\end\{pmatrix\}\\)  
如果 \\(p\_1\\) 和 \\(p\_2\\) 都是置换，我们可以把乘积 \\(P\_1P\_2\\) 定义为一种重排

比如：

\\\[ P\_1=\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\2&4&1&3\\end\{pmatrix\} 和~ P\_2=\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\3&4&2&1\\end\{pmatrix\} \\\]  
\\\[ P\_1P\_2=\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\1&4&3&2\\end\{pmatrix\} \\\]

**置换的性质：**

显然，两个置换的乘积还是置换

对于多次置换，满足结合律，即 \\(a(bc)=(ab)c\\)

设 \\(I=\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\1&2&3&4\\end\{pmatrix\}\\)  
显然 \\(pI=p,Ip=p\\) 均成立

设置换 \\(p = \\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\3&1&2&4\\end\{pmatrix\}\\)  
构造逆置换 \\(p^\{-1\}=\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\2&3&1&4\\end\{pmatrix\}\\)  
容易发现 \\(p(p^\{-1\})=I,(p^\{-1\})p=I\\)

但是置换的乘法不满足交换律，比如

\\\[ P\_1=\\begin\{pmatrix\}1&2&3\\\\2&1&3\\end\{pmatrix\} P\_2=\\begin\{pmatrix\}1&2&3\\\\3&2&1\\end\{pmatrix\} \\\]  
\\\[ P\_1P\_2=\\begin\{pmatrix\}1&2&3\\\\2&3&1\\end\{pmatrix\} \\\]  
\\\[ P\_2P\_1=\\begin\{pmatrix\}1&2&3\\\\3&1&2\\end\{pmatrix\}\\\]

对于一个对象的集合 \\(G\\),如满足一下 \\(4\\) 个性质:

1.  封闭性
2.  满足结合律
3.  单位元
4.  可逆

**那么这样的集合被称作群。**

例如整数的商就是一个群。

**定理1** 数目 \\(1,2,...,n\\) 的置换构成一个群。

这个群记做 \\(S\_n\\)，被称为 \\(n\\) 阶对称群，它恰好有 \\(n\\) 个不同的元素

这种两行的记号掩盖了置换具有的潜在结构，我们引用置换的另一种**圈符号**

例如

\\(\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\3&4&2&1\\end\{pmatrix\}\\)

是圈 \\(\\begin\{pmatrix\}1&3&2&4\\end\{pmatrix\}\\), 长度为 \\(4\\)

\\(\\begin\{pmatrix\}1&2&3&4\\\\2&3&1&4\\end\{pmatrix\}\\)

是圈 \\(\\begin\{pmatrix\}1&2&3\\end\{pmatrix\}\\), 在此 \\(4\\) 是不动的