最大似然估计和最大后验估计

亦凉 2021-10-23 10:51 332阅读 0赞

本文出处：[http://www.cnblogs.com/liliu/archive/2010/11/22/1883702.html][http_www.cnblogs.com_liliu_archive_2010_11_22_1883702.html]

http://www.cnblogs.com/liliu/archive/2010/11/24/1886110.html

### [最大似然估计(Maximum likelihood estimation)][http_www.cnblogs.com_liliu_archive_2010_11_22_1883702.html] ###

最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。

最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计：

首先，假设![2010112201390162.png][]为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。参数为θ的模型f产生上述采样可表示为

![2010112201405822.png][]

回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为![2010112201391980.png][]，未知为θ，故似然定义为:

![2010112201400153.png][]

在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：

![2010112201401577.png][]

其中![2010112201412749.png][]称为对数似然，而![2010112201414287.png][]称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然，即：

![2010112201420229.png][]

举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？

我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。这样，

P(Data | M)

= P(x1,x2,…,x100|M)

= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

= p^70(1-p)^30.

那么p在取什么值的时候，P(Data |M)的值最大呢？将p^70(1-p)^30对p求导，并其等于零。

70p^69(1-p)^30-p^70\*30(1-p)^29=0。

解方程可以得到p=0.7。

在边界点p=0,1，P(Data|M)=0。所以当p=0.7时，P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。

假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,…,xn），我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？

P(Data | M) = ？

根据公式

![2010112201424677.png][]

可得:![2010112201431187.png][]

对μ求导可得![2010112201433061.png][] ,则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n

由上可知最大似然估计的一般求解过程：

（1） 写出似然函数；

（2） 对似然函数取对数，并整理；

（3） 求导数 ；

（4） 解似然方程

注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述

本文参考

[http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum\_likelihood][http_en.wikipedia.org_wiki_Maximum_likelihood]

[http://www.shamoxia.com/html/y2010/1520.html][http_www.shamoxia.com_html_y2010_1520.html]

## ##

### [最大后验估计(MAP)][MAP] ###

最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。

首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：

![2010112401595490.png][]

现在，假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示：

![2010112402003225.png][]

最后验分布的目标为：

![2010112402010597.png][]

注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。

举例来说：

假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比例分别是

樱桃 100%

樱桃 75% + 柠檬 25%

樱桃 50% + 柠檬 50%

樱桃 25% + 柠檬 75%

柠檬 100%

如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？

我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作

![2010112402023487.png][]

由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式

![2010112402041098.png][]

写出我们的MAP函数。

![2010112402052046.png][]

根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设![2010112402055964.png][]为独立同分布的![2010112402065444.png][]，μ有一个先验的概率分布为![2010112402073966.png][]。那么我们想根据![2010112402055964.png][]来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：

![2010112402173714.png][]

此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

![2010112402085797.png][]

的最小值。求导可得所求的μ为

![2010112402090586.png][]

以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。

在MAP中我们应注意的是：

MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。

转载于:https://www.cnblogs.com/jiahuaking/p/3851017.html

[http_www.cnblogs.com_liliu_archive_2010_11_22_1883702.html]: http://www.cnblogs.com/liliu/archive/2010/11/22/1883702.html
[2010112201390162.png]: /images/20211023/52224201640b4e3291f2e72fe13380d1.png
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[http_en.wikipedia.org_wiki_Maximum_likelihood]: http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood
[http_www.shamoxia.com_html_y2010_1520.html]: http://www.shamoxia.com/html/y2010/1520.html
[MAP]: http://www.cnblogs.com/liliu/archive/2010/11/24/1886110.html
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