数的表示 —— 原码，反码，补码，移码（个人学习笔记）

╰半夏微凉° 2021-10-18 07:32 715阅读 0赞

### 原码，反码，补码，移码 ###

*  数的表示
 *   *  原码，反码，补码，移码之间的关系
     *  定点数和浮点数
     *  浮点数的规格化
     *  浮点数的运算

# 数的表示 #

各种i数值在计算机中表示的形式称为机器数，其特点是采用二进制计数制，数的符号用0和1表示，小数点则隐含，表示不占位置。  
机器数对应的实际数值称为数的真值。  
机器数有无符号数和带符号数之分。无符号数表示正数，在机器数中没有符号位。对于无符号数，若约定小i数点的位置在机器数的最低位之后，则是纯整数；若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数。  
机器数的最高位是表示正负的符号位，0表示正数，1表示负数，其余位表示数值。

为了方便运算，带符号的机器数可采用原码、反码、补码、移码等不同的编码方法，机器数的这些编码方法称为码制。

## 原码，反码，补码，移码之间的关系 ##

正数的原码，反码，补码一样，移码在补码的基础上改变符号位（即符号为之前为正，则改为负，反之亦然）。  
负数：反码是在原码的基础上，符号位不变，其它位取反（如果原码为1001，则反码为1110）。  
补码是在反码的基础上加1（如果反码为1110，则补码为1111）

移码在补码的基础上符号位取反。

*  原码表示法

数值X的原码记为【X】原 ，如果机器字长为n（即采用n个二进制位表示数），则原码的定义如下：  
若X是纯整数，则【X】原 = \{X 0 <= X <= 2^（n-1） -1  
\{2^（n-1） + |X| -(2 ^（n-1）-1) <= X <= 0  
若X是纯小数，则【X】原 = \{X 0 <= X < 1  
\{2^0 + |X| -1< X <= 0  
在原码表示法中，最高位是符号位，0表示正号，1表示负号，其余的n-1位表示数值的绝对值。

*  反码表示法

数值X的反码记作【X】反 ，如果机器字长为n，则反码的定义如下：  
若X是纯整数，则【X】反 = \{X 0 <= X <= 2^（n-1） -1  
\{2^n -1 + X -(2 ^（n-1）-1) <= X <= 0  
若X是纯小数，则【X】反 = \{X 0 <= X < 1  
\{2^0 + |X| -1< X <= 0  
在反码表示中，最高位是符号位，0表示正号，1表示负号，正数的反码与原码相同，负数的反码则是其绝对值按位求反。数值0的反码表示有两种形式：【+0】反 =0 0000000，【-0】反 =1 1111111。

*  补码表示法

数值X的补码记作【X】补，如果机器字长为n，则补码的定义如下：  
若X是纯整数，则【X】补 = \{X 0 <= X <= 2^（n-1） -1  
\{2^n + X -(2 ^（n-1）) <= X <= 0  
若X是纯小数，则【X】补 = \{X 0 <= X < 1  
\{2 + X -1< X <= 0  
在补码表示中，最高位为符号位，0表示正号，1表示负号，正数的补码和其原码与反码相同，负数的补码则是在反码的末位加1。在补码表示中，0有唯一的编码：【+0】补 = 0 0000000 ，【-0】补 = 00000000

*  移码表示法  
    移码表示法是在数X上增加一个偏移量来定义，`常用于浮点数中的阶码` 如果字长为n，规定偏移量为2^n-1 ，则移码的定义如下：  
    若X是纯整数，则【X】移 = 2^n-1 + X(-2 ^ n-1) <= X < 2 ^ n-1  
    若X是纯小数，则【X】移 = 1 + X(-1 <= X < 1）

## 定点数和浮点数 ##

*  定点数  
    所谓定点数，就是小数点的位置固定不变的数。小数点的位置通常有两种约定方式：定点整数（纯整数，小数点在最低有效数值位之后）和定点小数（纯小数，小数点在最高有效数值位之前）。
 *  浮点数  
    当机器字长为n时，定点数的补码和移码可表示2^n 个数，而其原码和反码只能表示(2 ^ n)-1个数（0的表示占用了两个编码），因此，定点数所能表示的数值范围比较小，在运算中很容易因结果超出范围而溢出。浮点数是小数点位置不固定的数，它能表示更大范围的数。  
    二进制可以表示为：2^5 \* 0.101110101 或 2^6 \* 0.0101110101 由此可知，一个二进制数N可以表示为更一般的形式 N = 2^E \* F ,其中E为阶码，F称为尾数。用解码和尾数表示的数称为浮点数，这种表示数的方法称为浮点表示法。  
    一个数的浮点表示不是唯一的。当小数点的位置改变时，阶码也随着相应改变，因此可以用多个浮点形式表示同一个数。

## 浮点数的规格化 ##

浮点数都是近似表示的，精度都是以尾数决定的。为了提高精度，需要使尾数的有效位数尽可能占满可用位数，这种措施称为浮点数的规格化。  
右规，尾数右移一位，阶码加一。  
左规，尾数左移一位，阶码减一。

## 浮点数的运算 ##

设有浮点数X= M \* 2 ^ j ，求X + Y的运算过程要经过对阶、求尾数和、结果规格化并判溢出、舍入处理和溢出判别等步骤。

1.  对阶。是两个数的阶码相同。令K = |i-j| ，把阶码小的数的尾数向右移动K位，并使阶码加上K。
2.  求尾数和。
3.  结果规格化并判溢出。如果运算结果所得的数不是规格化的数，则需要规格化处理。当尾数溢出时，需要调整阶码。
4.  舍入处理。在对结果右规时，尾数的最低位将因为移出而丢掉。
5.  溢出判别。以阶码为准，若阶码溢出，则运算结果溢出；若阶码下溢（小于最小值），则结果为0；否则结果正确，无溢出。

浮点数相乘，阶码相加，尾数相乘；浮点数相除，被除数的阶码减去除数的阶码，尾数相除。