还不懂排序算法可以打我了！

今天药忘吃喽~ 2021-08-30 22:50 297阅读 0赞

### 排序算法 ###

*  0. 前言
 *  1. 冒泡算法
 *  2. 插入算法
 *  3. 希尔排序
 *  4. 归并排序
 *  5. 快速排序
 *  6. 堆排序
 *  7. 基数排序
 *  8. 总结

# 0. 前言 #

评价一个算法的好坏，除了其是否具有较低的时间复杂度之外，还有其稳定性以及空间复杂度。

稳定性的判断标注是数组元素的值相同时，进行元素交换后，相对位置如果发生变化，变化则不具有稳定性。

# 1. 冒泡算法 #

冒泡排序可以说是每个程序员接触到的第一个排序算法，其算法思想较为简单。

在每一轮的排序中，对待排序子数组中的相邻元素进行比较，如果逆序，则交换位置。当一轮结束后，待排序子数组中最大的元素便出现了子数组最后一个位置。

具体如下图所示：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
       冒泡排序的代码如下所示：

package sort;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/15 20:48 */
    public class BubbleSort {
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
    
            for (int i = 0; i <array.length; i++){
            	// 不断缩小子数组的范围
                for (int j = 1; j < array.length - i; j++){
                    // 如果逆序，则交换位置
                    if (array[j] < array[j - 1]){
                        swap(array, j, j-1);
                    }
                }
            }
        }
    
        private static void swap(int[] array, int j, int i) {
            int temp = array[i];
            array[i] = array[j];
            array[j] = temp;
        }
    }

一个长度为`n`的数组，上述代码需要进行`n-1`趟的排序。但是我们可以看上图，在第一趟排序后，整个数字便完全有序了，无需进行后续操作。

所以上述代码可进行优化，优化后的代码如下：

public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
    
            for (int i = 0; i <array.length; i++){
                // flag 用于标识该趟有没有进行元素交换，没有交换的话，则说明已经完全没有了
                boolean flag = false;
                for (int j = 1; j < array.length - i; j++){
                    flag = true;
                    if (array[j] < array[j - 1]){
                        swap(array, j, j-1);
                    }
                }
                if(!flag){
                    break;
                }
            }
        }

接下来分析冒泡算法的效率。

时间复杂度`O(n)=(n^2)`，最坏的情况下，数组为一个完全逆序的数组，此时不管是否优化，依然需要`O(n)=(n^2)`，如果是一个有序的数组，那么在优化后的代码，只需要`O(n)=(n)`。

空间复杂度`O(1)`，因为我们只引用到了固定的常量而已。

稳定性：稳定。

# 2. 插入算法 #

插入排序有点像我们打扑克牌时，把小的牌插入到左边，以此达到这个牌有序。

将每一个元素插入到其他已经有序的元素中的适当位置。当前索引左边的元素都是有序的，但他们的最终位置还不确定，为了给更小的元素腾出空间，它们可能会向右移动。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

package sort;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/15 21:24 */
    public class InsertSort {
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
            for(int i = 1; i < array.length; i++){
                for (int j = i; j > 0 &&  array[j] < array[j-1]; j--){ 
                    swap(array, j, j-1);
                }
            }
        }
    
        private static void swap(int[] array, int j, int i) {
            int temp = array[i];
            array[i] = array[j];
            array[j] = temp;
        }
    }

接下来分析插入算法的效率。

时间复杂度`O(n)=(n^2)`，最坏的情况下，数组为一个完全逆序的数组，需要`O(n)=(n^2)`，如果是一个有序的数组，只需要`O(n)=(n)`。

空间复杂度`O(1)`，因为我们只引用到了固定的常量而已。

稳定性：稳定。

# 3. 希尔排序 #

对于插入排序来说，它只会交换相邻的元素，因此它只能一点一点地从数组地一端移动到另一端，如果最小元素在最右边，需要`n-1`次交换才能移动最左端。

希尔排序算法思想:使数组中任意间隔为`h`的元素都是有序地，这样的数组称为`h`有序数组。然后不断缩小h的值，直到`h`为`1`，此时可看作是插入排序。相比于插入排序，这样可以上述的极端情况下，更快的将元素交换到它的正确位置。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

package sort;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/15 21:46 */
    public class ShellSort {
    
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
            // 通常 h 并不是如此计算，有更好的方法，这里只说明算法思想，暂如此采用
            int h = array.length / 2;
    
            while (h >= 1){
                for (int i = h; i < array.length; i++){
                    for (int j = i; j > h && array[j] < array[j-h]; j -= h){
                        swap(array, j, j-h);
                    }
                }
                // 不断缩小 h 的值，直到为 1
                h /= 2;
            }
        }
    }

接下来分析希尔算法的效率。

时间复杂度`O(n^(1.3—2))`，最后`h`会退化到`1`，但如果前期的排序中，能够将小元素直接放到前面，一定程度上可以较低时间复杂的。

空间复杂度`O(1)`，因为我们只引用到了固定的常量而已。

稳定性：不稳定。

# 4. 归并排序 #

算法思想：要将一个数组排序，可以先（递归地）将它分成两半分别排序，然后将结果归并起来。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
       归并排序，分为两部分，一部分为递归，另一部分则为合并。

既然递归，则一定存在递归的终止条件，终止条件为只存在一个元素，如何判断只存在一个元素，左右下标相等。

接着是进行合并，合并则是对两个有序数组进行合并，借助一个辅助数组很容易实现。

package sort;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/15 22:13 */
    public class MergeSort {
    
        // 辅助数组
        private static int[] aux_array = null;
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
    
            aux_array = new int[array.length];
    
            int left = 0;
            int right = array.length - 1;
            recursive(array, left, right);
        }
    
        public static void recursive(int[] array, int left, int right){
            // 只存在一个元素，递归结束
            if (left == right)
                return;
    
            int mid = ((left - right) >> 1) + right;
            
            recursive(array, left, mid);
            recursive(array, mid+1, right);
            merge(array, left, mid, right);
        }
    
        private static void merge(int[] array, int left, int mid, int right) {
    
            int index = left;
            int i, j = 0;
            for (i = left, j = mid + 1; i <= mid && j <= right;){
                if(array[i] < array[j]){
                    aux_array[index++] = array[i++];
                }else{
                    aux_array[index++] = array[j++];
                }
            }
            while (i <= mid){
                aux_array[index++] = array[i++];
            }
            while (j <= right) {
                aux_array[index++] = array[j++];
            }
    
            // 此时，辅助数组已经将子数组合并完成,将辅助数组中的元素拷贝回原数组中
            for (index = left; index <= right; index++){
                array[index] = aux_array[index];
            }
        }
    }

接下来分析归并算法的效率。

时间复杂度`O(nlog(n))`。

空间复杂度`O(n)`，有相关论文表示可以做到`O(1)`，如感兴趣，可自行查阅。

稳定性：稳定。

# 5. 快速排序 #

算法思想：每次在数组中，选择一个哨兵，比哨兵大的元素放到其右边，小的则放到其左边，这样每一次就将哨兵的元素给排好了，然后对哨兵左右的子数组进行递归上述操作。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

将大于哨兵的元素放到其右边，小于哨兵的放到其左边，并且返回哨兵的下标可以才用如下算法：

将数组划分为两个区域，分别为大于和小于等于的区域，具体代码如下：

public static int partition(int[] array, int left, int right){
            // 将数组划分为两部分，low 区为小于等于哨兵array[right]的区域，high 区为大于哨兵array[right]的区域
            int low = left - 1;
            int high = right;
            for(int i = left; i < high; i++){
                if(array[i] <= array[right]){
                    // low 区扩大
                    swap(array, i, ++low);
                }else{
                    // high 区扩大
                    swap(array, i, --high);
                    // 注意，这里要进行 i--，因为换来的元素不知道其大小
                    i--;
                }
            }
            // 最后，将哨兵放到其正确的位置
            swap(array, right, high);
            return high;
        }

完整代码如下：

package sort;
    import	java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/15 23:14 */
    public class QuickSort {
    
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
    
            int left = 0;
            int right = array.length - 1;
            quickSort(array, left, right);
        }
    
        public static void quickSort(int[] array, int left, int right){
            if (right == left || right <= 0 || left >= array.length - 1)
                return;
    
            int index = partition(array, left, right);
            quickSort(array, left, index-1);
            quickSort(array, index + 1, right);
        }
    
        public static int partition(int[] array, int left, int right){
            // 将数组划分为两部分，low 区为小于等于哨兵array[right]的区域，high 区为大于哨兵array[right]的区域
            int low = left - 1;
            int high = right;
            for(int i = left; i < high; i++){
                if(array[i] <= array[right]){
                    // low 区扩大
                    swap(array, i, ++low);
                }else{
                    // high 区扩大
                    swap(array, i, --high);
                    // 注意，这里要进行 i--，因为换来的元素不知道其大小
                    i--;
                }
            }
            // 最后，将哨兵放到其正确的位置
            swap(array, right, high);
            return high;
        }
    }

快排优化，在上面的代码中，我们每次只能返回一个下标。将数组划分为3块，小于目标值区域，等于目标值区域，大于目标值区域。

这样当出现相同的元素时，每次返回相等元素的左右边界，这样可以对子数组的划分变小，同时也可以避免无意义的排序。

// 三向切分
        private static int[] partition_2(int[] array, int left, int right) {
            int lower = left-1;     // 小于目标值的区域
            int high = right;       // 大于等于目标值的区域
    
            for(int i = left; i < high; i++){
                if (array[i] < array[right]){
                    swap(array, i, ++lower);
                }else if (array[i] > array[right]){
                    swap(array, i, --high);
                    i--;
                }else{
                    continue;
                }
            }
            swap (array, high, right);
            return new int[]{lower,high+1};
        }

接下来分析快排算法的效率。

时间复杂度`O(n)=(nlog(n))`。

空间复杂度`O(1)`，因为我们只引用到了固定的常量而已。

稳定性：不稳定。

# 6. 堆排序 #

我们首先介绍一下大顶堆，大顶堆指堆顶的元素大于等于其左右儿子节点的元素，小顶堆则相反。

如下图，所示一个大顶堆。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
       `[5, 4, 1, 3, 2, 6, 7]`形成大顶堆的形成过程如下：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
       如上所示，便是大顶堆形成的过程。

堆排序的思路则是将堆顶元素与最后一个元素进行交换，此时堆中的最后一个元素，便是数组最大的元素。交换后，由于不符合大顶堆的定义，所以我们需要对堆进行调整，使之保持大顶堆的形态。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdfemhhb18_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

现在我们倒着看每次从堆尾剥离的元素，可以发现其是一个递增的有序序列。

整个堆排序涉及两个操作，上浮及下沉。

上浮

当某个节点的大于其父节点（或是在堆底加入了一个新的元素）时，我们需要由下而上恢复堆的顺序。

如果当前节点比其父节点大，则交换，直到我们遇到更大的父节点。

/** * * @param array 可以视作堆 * @param insertIndex 堆中待插入的下标，需要注意的是，这里的下标并不是数组最后一个下标，堆中每次插入一个元素后，insertIndex + 1 * @param target 待插入元素 */
        public static void swim(int[] array, int insertIndex, int target){
            // 将元素插入堆中
            array[insertIndex] = target;
            // 判断是否符合大顶堆
            while (insertIndex > 0 && array[insertIndex] > array[insertIndex/2]){
                swap(array, insertIndex, insertIndex/2);
                insertIndex /= 2;
            }
        }

下沉

当某个节点的小于其子节点（例如将根节点替换为一个较小的元素）时，我们需要由上而下恢复堆的顺序。

如果某个节点变得比它的两个子节点或是其中之一更小了，那么我们可以通过将它和它的两个子节点中的较大者交换，直到没有比它更大的子节点或者到达底部为止。

/** * * @param array 可以视作堆 * @param index 需要下沉节点的下标，如果是堆排序，则其默认为 0 * @param heapLastIndex 堆中最后一个元素的下标，需要注意的是，这里的下标并不是数组最后一个下标，每次移除堆尾的元素，heapLastIndex - 1 */
        public static void sink(int[] array,int index, int heapLastIndex){
            // 不能超过堆中最后一个元素
            while (index * 2 < heapLastIndex){
                int leftIndex = 2 * index + 1;
                int rightIndex = 2 * index + 2;
    
                // 该变量用来记录两个节点中较大的下标
                int maxIndex = leftIndex;
    
                // 此时，说明一定存在两个儿子节点
                if (rightIndex <= heapLastIndex){
                    maxIndex = array[leftIndex] > array[rightIndex] ? leftIndex : rightIndex;
                }
    
                // 如果父节点，大于最大的儿子节点，符合大顶堆，退出
                if (array[index] > array[maxIndex]){
                    break;
                }
    
                swap(array, index, maxIndex);
                index = maxIndex;
            }
        }

完整代码：

package sort;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @author wangzhao * @date 2020/6/16 1:08 */
    public class HeapSort {
    
    
        public static void sort(int[] array){
            if (array == null){
                return;
            }
    
            // 生成大顶堆
            for (int i=0; i < array.length; i++){
                swim(array, i, array[i]);
            }
    
            for (int i=array.length - 1; i > 0; i--){ 
                swap(array, 0, i);
                sink(array, 0, i-1);
            }
        }
    
    
        /** * * @param array 可以视作堆 * @param insertIndex 堆中待插入的下标，需要注意的是，这里的下标并不是数组最后一个下标，堆中每次插入一个元素后，insertIndex + 1 * @param target 待插入元素 */
        public static void swim(int[] array, int insertIndex, int target){
            // 将元素插入堆中
            array[insertIndex] = target;
            // 判断是否符合大顶堆
            while (insertIndex > 0 && array[insertIndex] > array[insertIndex/2]){
                swap(array, insertIndex, insertIndex/2);
                insertIndex /= 2;
            }
        }
    
        /** * * @param array 可以视作堆 * @param index 需要下沉节点的下标，如果是堆排序，则其默认为 0 * @param heapLastIndex 堆中最后一个元素的下标，需要注意的是，这里的下标并不是数组最后一个下标，每次移除堆尾的元素，heapLastIndex - 1 */
        public static void sink(int[] array,int index, int heapLastIndex){
            // 不能超过堆中最后一个元素
            while (index * 2 < heapLastIndex){
                int leftIndex = 2 * index + 1;
                int rightIndex = 2 * index + 2;
    
                // 该变量用来记录两个节点中较大的下标
                int maxIndex = leftIndex;
    
                // 此时，说明一定存在两个儿子节点
                if (rightIndex <= heapLastIndex){
                    maxIndex = array[leftIndex] > array[rightIndex] ? leftIndex : rightIndex;
                }
    
                // 如果父节点，大于最大的儿子节点，符合大顶堆，退出
                if (array[index] > array[maxIndex]){
                    break;
                }
    
                swap(array, index, maxIndex);
                index = maxIndex;
            }
        }
    
        private static void swap(int[] array, int i, int j) {
            int temp = array[i];
            array[i] = array[j];
            array[j] = temp;
        }
    
    }

接下来分析堆排序的效率。

时间复杂度`O(n)=(nlog(n))`。

空间复杂度`O(1)`，因为我们只引用到了固定的常量而已。

稳定性：不稳定。

# 7. 基数排序 #

基数排序可以参考之前写的一篇博客。[基数排序][Link 1]

# 8. 总结 #

至此，所有的主流排序算法都已介绍加`Coding`完成，有很多有意思还未介绍的地方。如堆排序中可以被扩展到的优先队列，这个挺有趣，面试中可能会有这样一个问题，如何在`100`万的数字中，选择最大`or`最小的`10`个数。

虽然上面既有时间复杂度为`O(n^2)`，也有`O(nlong)`复杂度的排序算法，但并不意味着时间复杂度越低，表现就越优秀，还和其数据量相同。

对于工程排序，往往是采用多种排序算法的结合，这里我们以`Arrays.sort`为例，观察其代码：

static void sort(int[] a, int left, int right,
                         int[] work, int workBase, int workLen) {
            // Use Quicksort on small arrays
            if (right - left < QUICKSORT_THRESHOLD) {
                sort(a, left, right, true);
                return;
            }
    
            /* * Index run[i] is the start of i-th run * (ascending or descending sequence). */
            int[] run = new int[MAX_RUN_COUNT + 1];
            int count = 0; run[0] = left;
    
            // Check if the array is nearly sorted
            for (int k = left; k < right; run[count] = k) {
                if (a[k] < a[k + 1]) { // ascending
                    while (++k <= right && a[k - 1] <= a[k]);
                } else if (a[k] > a[k + 1]) { // descending
                    while (++k <= right && a[k - 1] >= a[k]);
                    for (int lo = run[count] - 1, hi = k; ++lo < --hi; ) { 
                        int t = a[lo]; a[lo] = a[hi]; a[hi] = t;
                    }
                } else { // equal
                    for (int m = MAX_RUN_LENGTH; ++k <= right && a[k - 1] == a[k]; ) {
                        if (--m == 0) { 
                            sort(a, left, right, true);
                            return;
                        }
                    }
                }
    
                /* * The array is not highly structured, * use Quicksort instead of merge sort. */
                if (++count == MAX_RUN_COUNT) {
                    sort(a, left, right, true);
                    return;
                }
            }
    
            // Check special cases
            // Implementation note: variable "right" is increased by 1.
            if (run[count] == right++) { // The last run contains one element
                run[++count] = right;
            } else if (count == 1) { // The array is already sorted
                return;
            }
    
            // Determine alternation base for merge
            byte odd = 0;
            for (int n = 1; (n <<= 1) < count; odd ^= 1);
    
            // Use or create temporary array b for merging
            int[] b;                 // temp array; alternates with a
            int ao, bo;              // array offsets from 'left'
            int blen = right - left; // space needed for b
            if (work == null || workLen < blen || workBase + blen > work.length) {
                work = new int[blen];
                workBase = 0;
            }
            if (odd == 0) {
                System.arraycopy(a, left, work, workBase, blen);
                b = a;
                bo = 0;
                a = work;
                ao = workBase - left;
            } else {
                b = work;
                ao = 0;
                bo = workBase - left;
            }
    
            // Merging
            for (int last; count > 1; count = last) {
                for (int k = (last = 0) + 2; k <= count; k += 2) {
                    int hi = run[k], mi = run[k - 1];
                    for (int i = run[k - 2], p = i, q = mi; i < hi; ++i) {
                        if (q >= hi || p < mi && a[p + ao] <= a[q + ao]) {
                            b[i + bo] = a[p++ + ao];
                        } else {
                            b[i + bo] = a[q++ + ao];
                        }
                    }
                    run[++last] = hi;
                }
                if ((count & 1) != 0) {
                    for (int i = right, lo = run[count - 1]; --i >= lo;
                        b[i + bo] = a[i + ao]
                    );
                    run[++last] = right;
                }
                int[] t = a; a = b; b = t;
                int o = ao; ao = bo; bo = o;
            }
        }

根据数据量的多少，采用了插入排序，快速排序，归并排序三种排序的组合。

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/wang_zhao_/article/details/81157087