AcWing 1087. 修剪草坪【单调队列优化DP】C++详细题解

桃扇骨 2021-07-24 23:31 428阅读 1赞

## 单调队列优化DP ##

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### 题目 ###

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，FJ 变得很懒，再也没有修剪过草坪。

现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，FJ 希望能够再次夺冠。

然而，FJ 的草坪非常脏乱，因此，FJ 只能够让他的奶牛来完成这项工作。

FJ 有 N 只排成一排的奶牛，编号为 1 到 N。

每只奶牛的效率是不同的，奶牛 i 的效率为 Ei。

编号相邻的奶牛们很熟悉，如果 FJ 安排超过 K 只编号连续的奶牛，那么这些奶牛就会罢工去开派对。

因此，现在 FJ 需要你的帮助，找到最合理的安排方案并计算 FJ 可以得到的最大效率。

注意，方案需满足不能包含超过 K 只编号连续的奶牛。

**输入格式**  
第一行：空格隔开的两个整数 N 和 K；

第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 Ei。

**输出格式**  
共一行，包含一个数值，表示 FJ 可以得到的最大的效率值。

**数据范围**  
1≤N≤105,  
0≤Ei≤109  
输入样例：  
5 2  
1  
2  
3  
4  
5  
**输出样例：**  
12  
**样例解释**  
FJ 有 5 只奶牛，效率分别为 1、2、3、4、5。

FJ 希望选取的奶牛效率总和最大，但是他不能选取超过 2 只连续的奶牛。

因此可以选择第三只以外的其他奶牛，总的效率为 1 + 2 + 4 + 5 = 12。

### 思路 ###

**分析图示**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

**状态表示:** `f[i]`表示从前`i`头牛中选，且合法的所有方案集合中的最大效率值

**状态计算：**

对于每头牛i来说，有选和不选两种方案。

不选第`i`头牛 , `f[i] = f[i-1]`;

选第`i`头牛，又可以按照连续长度划分为：长度为`1`，长度为`2`，长度为`3`,长度为`k`

当我们所选的连续长度为`j`时 `(1<=j<=k)`，所选的牛可以是  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
注意第`i-j`头牛不选，因为我们所选的牛连续长度为`j`，选了连续长度就大于`j`了。  
故选择第`i`头牛方程为： `f[i]= f[i-j-1]+s[i]-s[i-j]`

将选择第`i`头牛的方程进行转换  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

**状态计算方程**为： `f[i]=max(f[i-1],g[i-j]+s[i])`

**考虑优化：**

最大值依赖于`g[i-j]`,因此定义一个长度为`k`的单调递减的队列维护`g[i-j]`,使得队头的`g[i-j]`最大，每次更新答案时取出队头进行更新。

### 代码 ###

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int N=1e5+10;
    LL f[N];
    LL s[N];
    int q[N];  //数组模拟队列，队列中存放的是下标
    LL g(int i)
    { 
        if(i==0)  return 0;
        return f[i-1]-s[i];
    }
    int main()
    { 
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        { 
            scanf("%d",&s[i]);
            s[i]+=s[i-1];
        }
        int hh=0,tt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        { 
           if(q[hh]<i-k) hh++;  //超出滑动窗口，出队列 ,此时s[i]还没入队，因此取不到等于号
           f[i]=max(f[i-1],g(q[hh])+s[i]);
           while(hh<=tt&&g(q[tt])<=g(i)) tt--;  //维护一个单调递减队列，队头元素最大
           q[++tt]=i;
        }
        printf("%lld\n",f[n]);
        return 0;
    }

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20210724/f36c7198ec444b529001ed25ffc591cb.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20210724/dd9512466e164f58874fdc9045453536.png
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