离散数学-集合论-关系的性质（8）

ゝ一世哀愁。 2024-03-29 14:24 86阅读 0赞

### 关系的性质 ###

关系的性质包括：自反、反自反、对称、反对称、传递五种。  
定义1：若  ∀ x ( x ∈ A → < x , x > ∈ R ) \\forall x(x∈A→<x,x>∈R) ∀x(x∈A→<x,x>∈R),则称R在A上是**自反**的。  
     若  ∀ x ( x ∈ A → < x , x > ∉ R ) \\forall x(x∈A→<x,x>\\notin R) ∀x(x∈A→<x,x>∈/R),则称R在A上是**反自反**的。

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**结论：**每个顶点上全有环则为自反，每个点上都没有环为反自反  
定义2：若  ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R → < y , x > ∈ R ) \\forall x\\forall y(x,y∈A\\land<x,y>∈R→<y,x>∈R) ∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R),则称R在A上是**对称**关系。  
     若  ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ∧ < y , x > ∈ R → x = y ) \\forall x\\forall y(x,y∈A\\land<x,y>∈R\\land<y,x>∈R→x=y) ∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y),则称R在A上是**反对称**关系。  
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**结论：**有关系的仅存双向为对称关系，仅存单向为反对称关系。  
定义3：设R为A上的关系，若：  
 ∀ x ∀ y ∀ z ( x , y , z ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ∧ < y , z > ∈ R → < x , z > ∈ R ) \\forall x\\forall y\\forall z(x,y,z∈A\\land<x,y>∈R\\land<y,z>∈R→<x,z>∈R) ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R)则称R为A上的**传递**关系。  
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**结论：** 如果存在1→2，2→3，则一定有1→3，全部存在相互传递的关系。  
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