二进制里为什么减一取反和取反加一等价？

爱被打了一巴掌 2024-03-30 12:10 64阅读 0赞

### 理解方式1 ###

通过实际的Demo来验证  
`14` (`原码/反码/补码`)`减一取反` ☞ `-14补码`  
`14` (`原码/反码/补码`)`取反加一` ☞ `-14补码`  
`-14补码` `减一取反` ☞ `14` (`原码/反码/补码`)  
`-14补码` `取反加一` ☞ `14` (`原码/反码/补码`)

2进制  14 原码: 00000000000000000000000000001110
     2进制  14 反码: 00000000000000000000000000001110
     2进制  14 补码: 00000000000000000000000000001110
     2进制 -14 补码: 11111111111111111111111111110010

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### 理解方式2 ###

**已知**  
二进制任意一个比特位上的数（`0`或`1`）和自身`按位取反`的数（`1`或`0`）相加必然是`1`。

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**设** n = `10110100` ，  
n `按位取反` ☞ `01001011` 取名为 x，  
可以得到 n + x = `11111111` 。

**结论**：

*  不分正负时：当 `n + x = 2^N - 1` 时，可以得到 `n 和 x 互为按位取反`的关系。
 *  如分正负时：当 `n + x = -1` 时，可以得到 `n 和 x 互为按位取反`的关系。

System.out.println((Integer.toBinaryString(-1)))
    System.out.println((Integer.toBinaryString(255)));
    
    11111111111111111111111111111111
    11111111

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**由**  
对数 `n` `取反加一` → `(2^N - 1 - n) + 1 = 2^N - n`  
对数 `n` `减一取反` → `2^N - 1 - (n - 1) = 2^N - n`

**可以得到**  
二进制里， **`减一取反`** 和 **`取反加一`** 等价。

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### 理解方式3 ###

> 关于补数有如下规则：
> 
>  *  ① 一个`负数`可用它的`正补数`来代替。
>  *  ② 一个`正数`和一个`负数`互为`补数`时，两数的`绝对值`之`和`为`模`。而这个`正补数`可以用`模`加上`负数`本身来得到。
>  *  参考：[补码的设计思想（补数）][Link 1]

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当 `N` 为 4 时：

-8	-1		-2		-3		-4		-5		-6		-7
    负数  原码 1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
    	
    负数绝对值 0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
    		
    负数  反码 1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000
    
    负数  补码 1000  1111    1110    1101    1100    1011    1010    1001  
                ↑
             10000（1111 + 1 = 10000，因为长度限制4位，故超出的 1 被截取 → 0000，加上符号位所以得到1000）
             
    负数反码 + 负数绝对值
    	      1111	1111   	1111	1111 	 1111	1111   	1111	1111
    
    再+1，正好为 Mod(16)

**综上发现规律：**

*  α. `负数绝对值` 和 `负数反码` `互为按位取反`的关系。
 *  β. `负数绝对值 + 负数反码 + 1 = Mod(2^N)`。

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**由**  
根据上面不完全归纳法 ☞ β. `负数绝对值 + 负数反码 + 1 = Mod(2^N)`  
根据补数的第②条规则 ☞ ② `负数绝对值 + 负数补码 = Mod(2^N)`

**可以得到**

*  `负数补码 = 负数反码 + 1`

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**由**  
负数绝对值(`原码/反码/补码`)`减一取反` → `2^N - 1 - (负数绝对值-1)` = `2^N - 负数绝对值` 根据② → `负数补码`  
负数绝对值(`原码/反码/补码`)`取反加一` → `2^N - 1 - 负数绝对值 + 1` = `2^N - 负数绝对值` 根据② → `负数补码`

**可以得到**

*  二进制里 `减一取反` 和 `取反加一` 等价。
 *  负数绝对值(`原码/反码/补码`)`减一取反` ☞ `负数补码`。
 *  负数绝对值(`原码/反码/补码`)`取反加一` ☞ `负数补码`。

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### 参考 ###

[为什么补码的补码就是原码？二进制里为什么减一取反和取反加一等价？][Link 2]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_37646636/article/details/128438717
[Link 2]: https://blog.csdn.net/qq_40930559/article/details/101393524