状态观测控制器设计与仿真验证

我不是女神ヾ 2024-03-30 10:18 83阅读 0赞

> 【无限嚣张（菜菜）】：hello您好，我是菜菜，很高兴您能来访我的博客，我是一名爱好编程学习研究的菜菜，每天分享自己的学习，想法，博客来源与自己的学习项目以及编程中遇到问题的总结。
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**目录**

*  状态观测器的提出
 *  状态观测器定义
 *  状态观测器的设计原理
 *  状态观测器的设计
 *  状态观测器的仿真验证

### **状态观测器的提出** ###

并不是所有系统的状态变量都是很容易能直接检测得到的，大多系统的状态变量都是不容易直接检测到的，有些状态变量甚至根本无法检测。这样，就提出了所谓的状态观测和状态重构问题，由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论，所以也叫Luenberger观测器。通过系统的输入和输出来估计状态，从而解决了在确定性条件下受控系统的重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制率。

### 状态观测器定义 ###

设线性定常系统![\\sum =(A,B,C)][sum _A_B_C]的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]以![\\sum][sum]的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量![\\hat\{x\}][hat_x]渐近于x，即![\\lim\\limits\_\{t\\to+\\infty\} |x-\\hat\{x\}|=0][lim_limits_t_to_infty_ _x-_hat_x_0]，则称![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]为![\\sum][sum]的一个状态观测器。

**根据状态观测器的的定义，我们可以知道构造观测器的原则是：**

(1)观测器![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]应以观测器![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]的输入u和输出y作为输入量。

(2)为了满足![\\lim\\limits\_\{t\\to+\\infty\} |x-\\hat\{x\}|=0][lim_limits_t_to_infty_ _x-_hat_x_0]，![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]必须完全能观，或其不能观子系统是渐进稳定的。

(3)![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]的输出![\\hat\{x\}][hat_x 1]应以足够的速度渐进与x,即![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望频带不要太宽。因此，要根据具体情况予以兼顾。

(4)![\\hat\{\\sum \}][hat_sum]在结构上要尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。

### 状态观测器的设计原理 ###

给出单输入单输出系统如下，假设给出的系统是能观(![rank(C,CA,...,CA^\{n-1\})^T)=n][rank_C_CA_..._CA_n-1_T_n])的,如果不能观，我们设计降阶观测器，观测他一部分状态。

![\\begin\{cases\}\\dot\{x\}=Ax+Bu\\\\ y = Cx \\end\{cases\}][begin_cases_dot_x_Ax_Bu_ y _ Cx _end_cases]

根据观测器的设计原则，闭环观测器的的状态方程设计如下：

![\\dot\{\\hat\{x\}\} = A\\dot\{x\}+Bu+G(y-C\\hat\{x\})][dot_hat_x_ _ A_dot_x_Bu_G_y-C_hat_x]

我们可以很容易知道闭环观测器的误差状态

![\\begin\{cases\} e = x-\\hat\{x\}\\\\ \\dot\{e\} = \\dot\{x\}-\\dot\{\\hat\{x\}\} =(A-GC)e\\end\{cases\}][begin_cases_ e _ x-_hat_x_ _dot_e_ _ _dot_x_-_dot_hat_x_ _A-GC_e_end_cases]

证明确定使![\\hat\{x\}][hat_x 1]渐进与x的条件:

对误差求导，我们可以得到如下解：

![e = e^\{(A-GC)t\}e(0)=e^\{(A-GC)t\}\[\\dot\{x\}\_\{0\}-x\_\{0\}\]][e _ e_A-GC_t_e_0_e_A-GC_t_dot_x_0_-x_0]

由上式可知，当（A-GC）的特征值均为负实部，才能满足![\\lim\\limits\_\{t\\to+\\infty\} |x-\\hat\{x\}|=0][lim_limits_t_to_infty_ _x-_hat_x_0]

### 状态观测器的设计 ###

假设一个线性系统如下：

![\\begin\{cases\} \\dot\{x\}\_\{1\} = x\_\{2\}\\\\ \\dot\{x\}\_\{2\}=m\_\{1\}x\_\{1\}+m\_\{2\}x\_\{2\}+5u\\\\y=5x\_\{1\} \\end\{cases\}][begin_cases_ _dot_x_1_ _ x_2_ _dot_x_2_m_1_x_1_m_2_x_2_5u_y_5x_1_ _end_cases]

将上式写成状态空间的形式如下，设![x = \[x\_\{1\},x\_\{2\}\]^\{T\}][x _ _x_1_x_2_T]

![eq_5Cdpi_7B100_7D_20_5Cbegin_7Bcases_7D_20_5Cdot_7Bx_7D_20_3D_20Ax_plus_Bu_5C_5C_20y_20_3D_20Cx_20_5Cend_7Bcases_7D][]

其中![A=(\\begin\{matrix\} 0& 1 \\\\ m\_\{1\} & m\_\{2\} \\\\ \\end\{matrix\}) ,\\quad B=(\\begin\{matrix\} 0 \\\\ 5 \\\\ \\end\{matrix\}),\\quad C=(\\begin\{matrix\} 5 &0 \\\\ \\end\{matrix\})][A_begin_matrix_ 0_ 1 _ m_1_ _ m_2_ _ _end_matrix_ _quad B_begin_matrix_ 0 _ 5 _ _end_matrix_quad C_begin_matrix_ 5 _0 _ _end_matrix],

判断系统是否能观：![R=(\\begin\{matrix\} C \\\\ CA \\\\ \\end\{matrix\})=(\\begin\{matrix\} 5&0 \\\\ 0&5 \\\\ \\end\{matrix\})=2][R_begin_matrix_ C _ CA _ _end_matrix_begin_matrix_ 5_0 _ 0_5 _ _end_matrix_2]，由此可知，此系统是满秩，所以能观，根据状态观测器的构造原则可知，可以构造观测器。

**原系统构建：**若原系统渐进稳定，那么矩阵A满足Hurwitz条件，即系统A的所有特征值全部小于0.即

![|\\lambda I-A|=\\lambda^\{2\}-\\lambda m\_\{2\}-m\_\{1\}=0][lambda I-A_lambda_2_-_lambda m_2_-m_1_0]

因此特征值和积需满足：![\\lambda\_\{1\}+\\lambda\_\{2\}=m\_\{2\}<0,\\lambda\_\{1\}\\lambda\_\{2\}=-m\_\{1\}>0][lambda_1_lambda_2_m_2_0_lambda_1_lambda_2_-m_1_0]，取![m\_\{2\}=-2,m\_\{1\}=-1][m_2_-2_m_1_-1]

**观测器构建：**

**![\\begin\{cases\} \\dot\{\\hat\{x\}\} = A\\hat\{x\}+Bu+G(y-C\\hat\{x\}) \\\\ y = C\{x\} \\end\{cases\}][begin_cases_ _dot_hat_x_ _ A_hat_x_Bu_G_y-C_hat_x_ _ y _ C_x_ _end_cases]**

观测器的误差为：

![\\begin\{cases\} e = x-\\hat\{x\}\\\\ \\dot\{e\} = \\dot\{x\}-\\dot\{\\hat\{x\}\} =(A-GC)e\\end\{cases\}][begin_cases_ e _ x-_hat_x_ _dot_e_ _ _dot_x_-_dot_hat_x_ _A-GC_e_end_cases]

我们最初目的是为了让![\\lim\\limits\_\{t\\to+\\infty\} |x-\\hat\{x\}|=0][lim_limits_t_to_infty_ _x-_hat_x_0]，也就是目的让误差趋于0。此时我们需要让矩阵A-GC满足Hurwitz条件，即：

![A-GC=(\\begin\{matrix\} 0& 1 \\\\ m\_\{1\} & m\_\{2\} \\\\ \\end\{matrix\}) -(\\begin\{matrix\} 5g\_\{1\}& 0 \\\\5g\_\{2\} & 0 \\\\ \\end\{matrix\})=(\\begin\{matrix\} -5g\_\{1\}& 1 \\\\ m\_\{1\}-5g\_2 & m\_\{2\} \\\\ \\end\{matrix\})][A-GC_begin_matrix_ 0_ 1 _ m_1_ _ m_2_ _ _end_matrix_ -_begin_matrix_ 5g_1_ 0 _5g_2_ _ 0 _ _end_matrix_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ m_1_-5g_2 _ m_2_ _ _end_matrix]

将![m\_\{2\}=-2,m\_\{1\}=-1][m_2_-2_m_1_-1]带入上式中，我们并求det(![\\lambda][lambda]I-(A-GC)),使其满足Hurwitz条件

![A-GC=(\\begin\{matrix\} -5g\_\{1\}& 1 \\\\ m\_\{1\}-5g\_2 & m\_\{2\} \\\\ \\end\{matrix\})=(\\begin\{matrix\} -5g\_\{1\}& 1 \\\\ -1-5g\_2 & -2 \\\\ \\end\{matrix\})][A-GC_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ m_1_-5g_2 _ m_2_ _ _end_matrix_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ -1-5g_2 _ -2 _ _end_matrix]

det(![\\lambda][lambda]I-(A-GC))=![\\lambda^\{2\}+(5g\_\{1\}+2)\\lambda +5g\_\{2\}+2=0][lambda_2_5g_1_2_lambda _5g_2_2_0],

因此特征值和积需满足,![\\lambda\_\{1\}+\\lambda\_\{2\}=-(5g\_\{1\}+2)<0,\\lambda\_\{1\}\\lambda\_\{2\}=5g\_\{2\}+2>0][lambda_1_lambda_2_-_5g_1_2_0_lambda_1_lambda_2_5g_2_2_0],取![g\_\{2\}=2,g\_\{1\}=1][g_2_2_g_1_1]

### 状态观测器的仿真验证 ###

控制输入，也就是控制器，我们输入一个正弦函数

x1的状态，以及x1的状态观测

![1419bd8c2aaf43238127d6bc681ff30f.png][]

x2的状态，以及x2的状态观测

![c8fccef61ee1463da41be248ae1e2e70.png][]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zywcxz
[sum _A_B_C]: https://latex.csdn.net/eq?%5Csum%20%3D%28A%2CB%2CC%29
[hat_sum]: https://latex.csdn.net/eq?%5Chat%7B%5Csum%20%7D
[sum]: https://latex.csdn.net/eq?%5Csum
[hat_x]: https://latex.csdn.net/eq?%5Chat%7Bx%7D
[lim_limits_t_to_infty_ _x-_hat_x_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Clim%5Climits_%7Bt%5Cto&plus;%5Cinfty%7D%20%7Cx-%5Chat%7Bx%7D%7C%3D0
[hat_x 1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Chat%7Bx%7D
[rank_C_CA_..._CA_n-1_T_n]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20rank%28C%2CCA%2C...%2CCA%5E%7Bn-1%7D%29%5ET%29%3Dn
[begin_cases_dot_x_Ax_Bu_ y _ Cx _end_cases]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdot%7Bx%7D%3DAx&plus;Bu%5C%5C%20y%20%3D%20Cx%20%5Cend%7Bcases%7D
[dot_hat_x_ _ A_dot_x_Bu_G_y-C_hat_x]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%20%3D%20A%5Cdot%7Bx%7D&plus;Bu&plus;G%28y-C%5Chat%7Bx%7D%29
[begin_cases_ e _ x-_hat_x_ _dot_e_ _ _dot_x_-_dot_hat_x_ _A-GC_e_end_cases]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20e%20%3D%20x-%5Chat%7Bx%7D%5C%5C%20%5Cdot%7Be%7D%20%3D%20%5Cdot%7Bx%7D-%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%20%3D%28A-GC%29e%5Cend%7Bcases%7D
[e _ e_A-GC_t_e_0_e_A-GC_t_dot_x_0_-x_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20e%20%3D%20e%5E%7B%28A-GC%29t%7De%280%29%3De%5E%7B%28A-GC%29t%7D%5B%5Cdot%7Bx%7D_%7B0%7D-x_%7B0%7D%5D
[begin_cases_ _dot_x_1_ _ x_2_ _dot_x_2_m_1_x_1_m_2_x_2_5u_y_5x_1_ _end_cases]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%20%3D%20x_%7B2%7D%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D_%7B2%7D%3Dm_%7B1%7Dx_%7B1%7D&plus;m_%7B2%7Dx_%7B2%7D&plus;5u%5C%5Cy%3D5x_%7B1%7D%20%5Cend%7Bcases%7D
[x _ _x_1_x_2_T]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20x%20%3D%20%5Bx_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D%5D%5E%7BT%7D
[eq_5Cdpi_7B100_7D_20_5Cbegin_7Bcases_7D_20_5Cdot_7Bx_7D_20_3D_20Ax_plus_Bu_5C_5C_20y_20_3D_20Cx_20_5Cend_7Bcases_7D]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdot%7Bx%7D%20%3D%20Ax&plus;Bu%5C%5C%20y%20%3D%20Cx%20%5Cend%7Bcases%7D
[A_begin_matrix_ 0_ 1 _ m_1_ _ m_2_ _ _end_matrix_ _quad B_begin_matrix_ 0 _ 5 _ _end_matrix_quad C_begin_matrix_ 5 _0 _ _end_matrix]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20A%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%200%26%201%20%5C%5C%20m_%7B1%7D%20%26%20m_%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%20%2C%5Cquad%20B%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%200%20%5C%5C%205%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%2C%5Cquad%20C%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%205%20%260%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29
[R_begin_matrix_ C _ CA _ _end_matrix_begin_matrix_ 5_0 _ 0_5 _ _end_matrix_2]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20R%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20C%20%5C%5C%20CA%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%205%260%20%5C%5C%200%265%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%3D2
[lambda I-A_lambda_2_-_lambda m_2_-m_1_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%7C%5Clambda%20I-A%7C%3D%5Clambda%5E%7B2%7D-%5Clambda%20m_%7B2%7D-m_%7B1%7D%3D0
[lambda_1_lambda_2_m_2_0_lambda_1_lambda_2_-m_1_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Clambda_%7B1%7D&plus;%5Clambda_%7B2%7D%3Dm_%7B2%7D%3C0%2C%5Clambda_%7B1%7D%5Clambda_%7B2%7D%3D-m_%7B1%7D%3E0
[m_2_-2_m_1_-1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20m_%7B2%7D%3D-2%2Cm_%7B1%7D%3D-1
[begin_cases_ _dot_hat_x_ _ A_hat_x_Bu_G_y-C_hat_x_ _ y _ C_x_ _end_cases]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%20%3D%20A%5Chat%7Bx%7D&plus;Bu&plus;G%28y-C%5Chat%7Bx%7D%29%20%5C%5C%20y%20%3D%20C%7Bx%7D%20%5Cend%7Bcases%7D
[A-GC_begin_matrix_ 0_ 1 _ m_1_ _ m_2_ _ _end_matrix_ -_begin_matrix_ 5g_1_ 0 _5g_2_ _ 0 _ _end_matrix_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ m_1_-5g_2 _ m_2_ _ _end_matrix]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20A-GC%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%200%26%201%20%5C%5C%20m_%7B1%7D%20%26%20m_%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%20-%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%205g_%7B1%7D%26%200%20%5C%5C5g_%7B2%7D%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-5g_%7B1%7D%26%201%20%5C%5C%20m_%7B1%7D-5g_2%20%26%20m_%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29
[lambda]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Clambda
[A-GC_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ m_1_-5g_2 _ m_2_ _ _end_matrix_begin_matrix_ -5g_1_ 1 _ -1-5g_2 _ -2 _ _end_matrix]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20A-GC%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-5g_%7B1%7D%26%201%20%5C%5C%20m_%7B1%7D-5g_2%20%26%20m_%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29%3D%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-5g_%7B1%7D%26%201%20%5C%5C%20-1-5g_2%20%26%20-2%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%29
[lambda_2_5g_1_2_lambda _5g_2_2_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Clambda%5E%7B2%7D&plus;%285g_%7B1%7D&plus;2%29%5Clambda%20&plus;5g_%7B2%7D&plus;2%3D0
[lambda_1_lambda_2_-_5g_1_2_0_lambda_1_lambda_2_5g_2_2_0]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Clambda_%7B1%7D&plus;%5Clambda_%7B2%7D%3D-%285g_%7B1%7D&plus;2%29%3C0%2C%5Clambda_%7B1%7D%5Clambda_%7B2%7D%3D5g_%7B2%7D&plus;2%3E0
[g_2_2_g_1_1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B100%7D%20g_%7B2%7D%3D2%2Cg_%7B1%7D%3D1
[1419bd8c2aaf43238127d6bc681ff30f.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/42d26d28f5084f919187465d6f028dd6.png
[c8fccef61ee1463da41be248ae1e2e70.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/89cd177293594f39bfefd19412e2ff94.png