Day41——Dp专题

怼烎@ 2024-03-31 16:32 115阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*   *  四、完全背包
     *   *   *  01背包的核心代码
             *  完全背包的核心代码
         *  12、零钱兑换 II
         *  13、组合总和 Ⅳ
         *  14、 爬楼梯（进阶版）
         *  15.零钱兑换
         *  16.完全平方数
         *  17.单词拆分

--------------------

### 四、完全背包 ###

**完全背包：每一个物品可以选无限次**

**完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件**

##### 01背包的核心代码 #####

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
         // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
         // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

**而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：**

##### 完全背包的核心代码 #####

// 先遍历物品，再遍历背包
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
         // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) {
         // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    
        }
    }

*  在一维数组中，**01背包问题**必须先遍历物品，后遍历背包。**完全背包**两个for循环嵌套顺序是无所谓的
 *  在一维数组中，**01背包问题**遍历背包时必须倒序遍历。**完全背包**正序遍历
 *  **倒序遍历**，必须先遍历物品，再遍历背包。**正序遍历**，则for循环嵌套顺序无所谓

**Code**

//先遍历物品，再遍历背包
    private static void testCompletePack(){
        
        int[] weight = {
        1, 3, 4};
        int[] value = {
        15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 0; i < weight.length; i++){
         // 遍历物品
            for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){
         // 遍历背包容量
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
        
            System.out.println(maxValue + "   ");
        }
    }
    
    //先遍历背包，再遍历物品
    private static void testCompletePackAnotherWay(){
        
        int[] weight = {
        1, 3, 4};
        int[] value = {
        15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){
         // 遍历背包容量
            for (int j = 0; j < weight.length; j++){
         // 遍历物品
                if (i - weight[j] >= 0){
        
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
                }
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
        
            System.out.println(maxValue + "   ");
        }
    }

#### 12、零钱兑换 II ####

[力扣题目链接][Link 1]

*  **组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**

**思路**：

**动规五部曲**

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[j\]：凑成总金额j的货币组合数为dp\[j\]

*  **确定递推公式**

dp\[j\] 就是所有的dp\[j - coins\[i\]\]（考虑coins\[i\]的情况）相加。

所以递推公式：dp\[j\] += dp\[j - coins\[i\]\];

*  **dp数组初始化**

首先dp\[0\]一定要为1，dp\[0\] = 1是 递归公式的基础，下标非0的dp\[j\]初始化为0，这样累计加dp\[j - coins\[i\]\]的时候才不会影响真正的dp\[j\]

*  **确定遍历顺序**

**求组合数，先遍历物品，再遍历背包**

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
         // 遍历物品
        for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
         // 遍历背包容量
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }

**求排列数，先遍历背包，再遍历物品**

for (int j = 0; j <= amount; j++) {
         // 遍历背包容量
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
         // 遍历物品
            if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }

*  **举例推导dp数组**

![image-20221208190623089][]

*  **如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。
 *  **如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。

**Code**

class Solution {
        
        public int change(int amount, int[] coins) {
        
            //递推表达式
            int[] dp = new int[amount + 1];
            //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
            dp[0] = 1;
            for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
        
                for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
        
                    dp[j] += dp[j - coins[i]];
                }
            }
            return dp[amount];
        }
    }

#### 13、组合总和 Ⅳ ####

[力扣题目链接][Link 2]

本题与零钱兑换差别就在于**物品和背包的遍历顺序**

**动规五部曲**

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp\[i\]

*  **确定递推公式**

dp\[i\] += dp\[i - nums\[j\]\];

*  **dp数组如何初始化**

dp\[0\] = 1

*  **确定遍历顺序**

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

遍历顺序：**target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历**。

*  **举例推导dp数组**

![image-20221208192928500][]

**Code**

class Solution {
        
        public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        
            int[] dp = new int[target + 1];
            dp[0] = 1;
            for (int i = 0; i <= target; i++) {
        
                for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
        
                    if (i >= nums[j]) {
        
                        dp[i] += dp[i - nums[j]];
                    }
                }
            }
            return dp[target];
        }
    }

#### 14、 爬楼梯（进阶版） ####

[力扣题目链接][Link 3]

**题目改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？**

**思路**：

**动规五部曲**：

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp\[i\]种方法。

*  **确定递推公式**

本题呢，dp\[i\]有几种来源，dp\[i - 1\]，dp\[i - 2\]，dp\[i - 3\] 等等，即：dp\[i - j\]

那么递推公式为：dp\[i\] += dp\[i - j\]

*  **dp数组初始化**

既然递归公式是 dp\[i\] += dp\[i - j\]，那么dp\[0\] 一定为1，dp\[0\]是递归中一切数值的基础所在，如果dp\[0\]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp\[i\]初始化为0，因为dp\[i\]是靠dp\[i-j\]累计上来的，dp\[i\]本身为0这样才不会影响结果

*  **确定遍历顺序**

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将背包放在外循环，而物品放在内循环。

*  **举例并推导dp数组**

![image-20221209090542359][]

**总结**

**本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！**

如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬\[1 - m\]个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。

这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。

**本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！**

**Code**

**爬楼梯**

class Solution {
        
        public int climbStairs(int n) {
        
            int[] dp = new int[n + 1];
            int[] weight = {
        1,2};
            dp[0] = 1;
    
            for (int i = 0; i <= n; i++) {
        
                for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
        
                    if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];
                }
            }
    
            return dp[n];
        }
    }

**爬楼梯（进阶版）**

#### 15.零钱兑换 ####

[力扣题目链接][Link 4]

**思路**

**动规五部曲**

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[j\]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp\[j\]

*  **确定递推公式**

凑足总额为j - coins\[i\]的最少个数为dp\[j - coins\[i\]\]，那么只需要加上一个钱币coins\[i\]即dp\[j - coins\[i\]\] + 1就是dp\[j\]（考虑coins\[i\]）

所以dp\[j\] 要取所有 dp\[j - coins\[i\]\] + 1 中最小的。

递推公式：**dp\[j\] = min(dp\[j - coins\[i\]\] + 1, dp\[j\]);**

*  **dp数组如何初始化**

**dp\[0\] = 0;**

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp\[j\]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp\[j - coins\[i\]\] + 1, dp\[j\])比较的过程中被初始值覆盖。

**所以下标非0的元素都是应该是最大值。**

*  **确定遍历顺序**

所以本题并**不强调**集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

遍历顺序不做要求，但我们采用**物品放外层，背包放内层。**

*  **举例推导dp数组**

![image-20221209091438692][]

dp\[amount\]为最终结果。

**Code**

class Solution {
        
        public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        
            int max = Integer.MAX_VALUE;
            int[] dp = new int[amount + 1];
            Arrays.fill(dp,max);
            dp[0] = 0;
            for(int i : coins){
        
                for(int j = i; j <= amount; j++){
        
                    if(dp[j - i] != max){
        
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i] + 1);
                    }
                }
            }
            return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
        }
    }

#### 16.完全平方数 ####

[力扣题目链接][Link 5]

**思路**

**动规五部曲**

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[j\]：和为j的完全平方数的最少数量为dp\[j\]

*  **确定递推公式**

dp\[j\] = min(dp\[j - i \* i\] + 1, dp\[j\]);

*  **dp数组初始化**

dp\[0\]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp\[0\]一定是0

从递归公式dp\[j\] = min(dp\[j - i \* i\] + 1, dp\[j\]);中可以看出每次dp\[j\]都要选最小的，**所以非0下标的dp\[j\]一定要初始为最大值，这样dp\[j\]在递推的时候才不会被初始值覆盖**。

*  **确定遍历顺序**

本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        
                // 遍历背包
                for (int j = i * i; j <= n; j++) {
        
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }

*  **举例并推导dp数组**

![image-20221209101219544][]

**Code**

class Solution {
        
        public int numSquares(int n) {
        
            int max = Integer.MAX_VALUE;
            int[] dp = new int[n + 1];
            Arrays.fill(dp,max);
            dp[0] = 0;
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        
                // 遍历背包
                for (int j = i * i; j <= n; j++) {
        
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }
            }
            return dp[n];
        }
    }

#### 17.单词拆分 ####

[力扣题目链接][Link 6]

**思路**

**动规五部曲**

*  **确定dp数组以及下标的含义**

dp\[i\] : 字符串长度为i的话，dp\[i\]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

*  **确定递推公式**

如果确定dp\[j\] 是true，且 \[j, i\] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp\[i\]一定是true。（j < i ）。

所以递推公式是 if(\[j, i\] 这个区间的子串出现在字典里 && dp\[j\]是true) 那么 dp\[i\] = true。

*  **dp数组如何初始化**

dp\[0\]一定要为true，下标非0的dp\[i\]初始化为false

*  **确定遍历顺序**

本题求排列数，排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

*  **举例推导dp数组**

![image-20221209105723265][]

dp\[s.size()\]就是最终结果。

**Code**

class Solution {
        
        public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        
            boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
            dp[0] = true;
            for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
        
                for (String word : wordDict) {
        
                    int len = word.length();
                    if (i >= len && dp[i - len] && word.equals(s.substring(i - len, i))) {
        
                        dp[i] = true;
                        break;
                    }
                }
            }
            return dp[s.length()];
        }
    }

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/
[image-20221208190623089]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/e09457e2b25f49ee9ff22e04ace25f35.png
[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/
[image-20221208192928500]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/6b6cbadf0c274500ba0c52fe674d1a24.png
[Link 3]: https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
[image-20221209090542359]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/40631b9f5e224cd0919fa48836c14e22.png
[Link 4]: https://leetcode.cn/problems/coin-change/
[image-20221209091438692]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/2c96591232924ce696a0e5eed6c12a8d.png
[Link 5]: https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/
[image-20221209101219544]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/3f125d08a6234778a8cfddb9792fdde0.png
[Link 6]: https://leetcode.cn/problems/word-break/
[image-20221209105723265]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/de240bbac6294482b82d9c841a714f1a.png