计算机前沿（从三次数学危机到量子计算）

墨蓝 2024-03-31 10:03 56阅读 0赞

宇宙之中存在无数个平行的世界，一个实体的世界，一个虚拟的世界，一个数学的世界，一个量子的世界。有看的见的世界，有看不见的世界等等。现在我们的实体世界对面那个虚拟的世界越来越清晰，这得益于数学世界的发展，得益于计算机技术的发展，得益于人工智能技术的发展。它们可能是平行的，也可能是一体，现在无人可证明，我们这个实体的世界和虚拟的世界是不是一个整体，正如人有肉体和灵魂，肉体不在，灵魂也不知道在了哪。计算机的发明，不得不说是人类20世纪最伟大的发明。

古希腊人，觉得数学可以解析一切。他们是聪明的，他们通过数学构建了人类思想大厦，甚至信仰，而且这种思想完全可跨越国界，种族和肤色，全世界通用。在构建完美数学大厦额过程中是通过一次一次的悖论推动数学世界完美性的构建。历史上，有三次比较大的数学危机，从而诞生了无理数，微积分和集合论。在三次危机后，伟大的数学家图灵，构建了可计算模型--图灵机。

**第一次数学危机。**  
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。  
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希巴斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希巴斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。  
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的。可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了。  
这应该是多么违反常识，多么荒谬的事。它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

**第二次数学危机**  
第二次数学危机来源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具被牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。  
解决  
经过柯西（微积分收官人）用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽。

**第三次数学危机**  
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”  
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。  
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。  
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。  
解决  
排除悖论  
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。  
公理化集合系统  
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

**可计算性理论**  
第三次数学危机的解决推动了人们对可计算问题的思考，这也是奠定计算机的数学理论基础。  
可计算性理论通过建立计算的数学模型 ，精确区分哪些是可计算的，哪些是不可计算的。  
计算的过程是执行算法的过程。可计算性理论的重要课题之一，是将算法这一直观概念精确化。  
算法概念精确化的途径很多，其中之一是通过定义抽象计算机，把算法看作抽象计算机的程序。  
通常把那些存在算法计算其值的函数叫做可计算函数。因此，可计算函数的精确定义为：能够在抽象计算机上编出程序计算其值的函数。这样就可以讨论哪些函数是可计算的，哪些函数是不可计算的。

**图灵机的发明**  
可计算性理论催生了图灵机的发明，英国数学家艾伦・麦席森・图灵(1912―-1954年)于1936年提出的一种抽象的计算模型，即将人们使用纸笔进行数学运算的过程进行抽象，由一个虚拟的机器替代人类进行数学运算。  
它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。  
在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。

**冯.诺依曼体系的提出**  
而后人们急需要一种可存储编程的计算机模型，催生了冯·诺依曼结构计算机体系结构。冯·诺依曼结构也称普林斯顿结构，是一种将程序指令存储器和数据存储器合并在一起的存储器结构。程序指令存储地址和数据存储地址指向同一个存储器的不同物理位置，因此程序指令和数据的宽度相同，如英特尔公司的8086中央处理器的程序指令和数据都是16位宽。  
数学家冯·诺依曼提出了计算机制造的三个基本原则，即采用二进制逻辑、程序存储执行以及计算机由五个部分组成（运算器、控制器、存储器、输入设备、输出设备），这套理论被称为冯·诺依曼体系结构。  
这是经典计算机的模型。

**大规模集成电路以及摩尔定律**

在大规模集成电路和摩尔定律蓬勃发展中，计算机技术飞速发展，在20世纪中叶到21世纪初人们在计算机和数学领域没有什么危机。但随着摩尔定律接进极限，危机随即而来。

**量子计算机**

摩尔定律的发展接进极限，催生人们寻找其他的出路，探索更快的计算方式。量子计算机和量子计算很可能是未来化解危机的一次有效举措。或者又要新的计算模型的出现，解决目前危机。但是量子计算肯定不是最后的危机。

世界的发展都是一次次危机的推动，这真是个神奇的规律。自然界的一切皆如此。

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