《数据结构》对二叉树的初步认识

r囧r小猫 2024-04-01 15:17 84阅读 0赞

**1.** **树型结构（了解）**

**1.1** **概念**

树是一种 **非线性** 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 **把它叫做树是因为它看**

**起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的** 。它具有以下的特点：

**1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点**

2.除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <=

m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继结点

**3.树是递归定义的。**

![a7822739c114439aac50aac6c04fd3fe.png][]

![518e4deafb6748f8b6b0968893eaff4f.png][]

**注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构**

![8ba99dd74ee34d02ac999ae5beb1357a.png][]

**1.2** **概念（重要）**

![902d3f02952e41679e8d65392bc0ee09.png][]

**结点的度** ：一个结点 **含有子树的个数称为该结点的度** ； 如上图： A 的度为 6

**树的度** ：一棵树中， **所有结点度的最大值称为树的度** ； 如上图：树的度为 6

**叶子结点或终端结点** ： **度为** **0** **的结点称为叶结点** ； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

**双亲结点或父结点** ：若 **一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点** ； 如上图： A 是 B 的父结点

**孩子结点或子结点** ：一个 **结点含有的子树的根结点** 称为 **该结点的子结点** ； 如上图： B 是 A 的孩子结点

**根结点** ： **一棵树中，没有双亲结点的结点** ；如上图： A

**结点的层次** ：从根开始定义起， **根为第** **1** **层，根的子结点为第** **2** **层** ，以此类推

**树的高度或深度** ： **树中结点的最大层次** ； 如上图：树的高度为 4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

**非终端结点或分支结点** ： **度不为** **0** **的结点** ； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

**兄弟结点** ： **具有相同父结点的结点互称为兄弟结点** ； 如上图： B 、 C 是兄弟结点

**堂兄弟结点** ： **双亲在同一层的结点互为堂兄弟** ；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

**结点的祖先** ：从 **根到该结点所经分支上的所有结点** ；如上图： A 是所有结点的祖先

**子孙** ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

**森林** ： **由** **m** **（** **m>=0** **）棵互不相交的树组成的集合称为森林**

**1.3** **树的表示形式（了解）**

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： **双亲表示法** ，

**孩子表示法** 、 **孩子双亲表示法** 、 **孩子兄弟表示法** 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 **孩子兄弟表示法** 。

class Node \{

int value ; // 树中存储的数据

Node fifirstChild ; // 第一个孩子引用

Node nextBrother ; // 下一个兄弟引用

![370f9f62e8434ef2a8963038291d766f.png][]

**1.4** **树的应用**

**文件系统管理（目录和文件）**

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**2.** **二叉树（重点）**

**2.1** **概念**

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由 **一个根节** 点加上两棵别称为 **左子树** 和 **右子树** 的二叉树组成。

![edd3f9cf6bc349dfa3a3cae1ca677d80.png][]

从上图可以看出：

1. 二叉树 **不存在度大于** **2** **的结点**

2. 二叉树的子树 **有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树**

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

![3245c0642bf24d9fae1efa10682f5044.png][]

1. **满二叉树** **:** 一棵二叉树，如果 **每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树** 。也就是说， **如果一棵**

**二叉树的层数为** **K** **，且结点总数是2^k-1**

**，则它就是满二叉树** 。

2. **完全二叉树** **:** 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。 **对于深度为** **K** **的，有** **n**

**个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为** **K** **的满二叉树中编号从** **0** **至** **n-1** **的结点一一对应时称之为完**

**全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。** **(完全二叉树最多只有一个度为1的结点，且其形状必须与满二叉树完全相同)**

![8f98224a2f4840c8974e5adfaf73164e.png][]

**2.3** **二叉树的性质**

1. 若规定 **根结点的层数为** **1** ，则一棵 **非空二叉树的** **第** **i** **层上最多有2^(i-1)**

**(i>0)** **个结点**

2. 若规定只有 **根结点的二叉树的深度为** **1** ，则 **深度为** **K** **的二叉树的最大结点数是2^k-1**

(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 **叶结点个数为** **n0,** **度为** **2** **的非叶结点个数为** **n2** **,** **则有** **n0** **＝** **n2** **＋** **1**

4. 具有 **n** **个结点的完全二叉树的深度** **k** **为** ![37a682279338456b8bd60ce5736c3713.png][] **向上取整**

5. 对于具有 **n** **个结点的完全二叉树** ，如果按照 **从上至下从左至右的顺序对所有节点从** **0** **开始编号** ，则对于 **序号为** **i**

**的结点有** ：

若 i>0 ， **双亲序号：** **(i-1)/2** ； **i=0** **，** **i** **为根结点编号** ，无双亲结点

**若** **2i+1<n** **，左孩子序号：** **2i+1** **，否则无左孩子**

**若** **2i+2<n** **，右孩子序号：** **2i+2** **，否则无右孩子**

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

答案：

1.B

2.A

3.B

4.B

**2.4** **二叉树的存储**

**二叉树的存储结构** 分为： **顺序存储** 和 **类似于链表的链式存储** 。

顺序存储在下节介绍。

**二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式** ，具体如下：

// 孩子表示法

class Node \{

int val ; // 数据域

Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

// 孩子双亲表示法

class Node \{

int val ; // 数据域

Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

Node parent ; // 当前节点的根节点

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

**2.5** **二叉树的基本操作**

**2.5.1** **前置说明**

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结

构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等

二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式

public class BinaryTree \{

public static class BTNode \{

BTNode left ;

BTNode right ;

int value ;

BTNode ( int value )\{

this . value = value ;

private BTNode root ;

public void createBinaryTree ()\{

BTNode node1 = new BTNode ( 1 );

BTNode node1 = new BTNode ( 2 );

BTNode node1 = new BTNode ( 3 );

BTNode node1 = new BTNode ( 4 );

BTNode node1 = new BTNode ( 5 );

BTNode node1 = new BTNode ( 6 );

root = node1 ;

node1 . left = node2 ;

node2 . left = node3 ;

node1 . right = node4 ;

node4 . left = node5 ;

node5 . right = node6 ;

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， **二叉树是：**

1. **空树**

2. **非空：根节点，根节点的左子树、根结点的右子树组成的**

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从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

**2.5.2** **二叉树的遍历**

1. **前中后序遍历**

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 **遍历** **(Traversal)** **是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结**

**点均做一次且仅做一次访问** 。 **访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题** **(** **比如：打印节点内容、节点内容加**

**1)** 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

![191eabdb4440409e8966cedc768d5438.png][]

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， **如果按**

**照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的** 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的

左子树， R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

**NLR** **：前序遍历** **(Preorder Traversal** **亦称先序遍历** **)——** **访问根结点** **--->** **根的左子树** **--->** **根的右子树。**

**LNR** **：中序遍历** **(Inorder Traversal)——** **根的左子树** **--->** **根节点** **--->** **根的右子树。**

**LRN** **：后序遍历** **(Postorder Traversal)——** **根的左子树** **--->** **根的右子树** **--->** **根节点。**

// 前序遍历

void preOrder ( Node root );

// 中序遍历

void inOrder ( Node root );

// 后序遍历

void postOrder（Node root）;

下面主要分析 **前序递归遍历**

![683d06addcbe4a04a1dd5902d917446a.png][]

**前序遍历结果：** **1 2 3 4 5 6**

**中序遍历结果：** **3 2 1 5 4 6**

**后序遍历结果：** **3 1 5 6 4 1**

2. **层序遍历**

**层序遍历** ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在

层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发， **首先访问第一层的树根节点** ，然后 **从左到右访问第** **2层**

**上的节点，接着是第三层的节点** ， **以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。**

![ff3a1d3deeb14665b9ac7ced0e202190.png][]

**2.5.3** **二叉树的基本操作**

// 获取树中节点的个数

int size ( Node root );

// 获取叶子节点的个数

int getLeafNodeCount ( Node root );

// 子问题思路 \- 求叶子结点个数

// 获取第 K 层节点的个数

int getKLevelNodeCount ( Node root , int k );

// 获取二叉树的高度

int getHeight ( Node root );

// 检测值为 value 的元素是否存在

Node fifind ( Node root , int val );

// 层序遍历

void levelOrder ( Node root );

// 判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree ( Node root );

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