约瑟夫环——公式法（递推公式）

痛定思痛。 2024-04-01 09:42 58阅读 0赞

### 约瑟夫问题 ###

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。  
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

*  首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
 *  然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
 *  C接着从1开始报数
 *  接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
 *  最终胜利者是C

### 解决方案 ###

#### 普通解法 ####

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。  
![在这里插入图片描述][aabf00fae7ab4abf9e4504bf51008a80.png]

##### 缺点： #####

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

##### 公式法 #####

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。  
**问题**： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。  
**递推公式：**

f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

*  f ( N , M ) f(N,M)f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
 *  f ( N − 1 , M ) f(N-1,M)f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号  
    下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

*  刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
 *  编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的- 头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
 *  编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。  
    ……
 *  第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
 *  下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
 *  最后的胜利者是编号为7的人。  
    下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）  
    ![在这里插入图片描述][5163c16c45144690b09cbcf6b4fe09f3.png]  
    现在再来看我们递推公式是怎么得到的！  
    **将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置**

![在这里插入图片描述][fb80e783d38e410db70b9630a23d560f.png]

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。  
**问题1：** 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？  
答： 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

**问题2：** 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？  
答： 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f ( 11 , 3 ) = f ( 10 , 3 ) + 3 。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f ( 11 , 3 ) = （ f ( 10 , 3 ) + 3 ） % 11

**问题3：** 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？  
答： 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f ( N − 1 , M )，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f ( N , M ) = ( f ( N − 1 , M ) + M ) % n

\*\*注：\*\*理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1  
下面给出代码实现：

int cir(int n,int m)
    {
        
    	int p=0;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
        
    		p=(p+m)%i;
    	}
    	return p+1;
    }

[aabf00fae7ab4abf9e4504bf51008a80.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/bc4363c1ee894a27ba11fcbb8c5b12d2.png
[5163c16c45144690b09cbcf6b4fe09f3.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/d5e6ffcdea07454fb029dc2e484ba5ad.png
[fb80e783d38e410db70b9630a23d560f.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/94b94c84bb4847bcb486b0830304654d.png