动态规划进阶 — — 斜率优化【3】

朱雀 2024-04-06 09:27 77阅读 0赞

## 动态规划进阶 — — 斜率优化【3】 ##

### 1 打怪兽问题 ###

![在这里插入图片描述][64870f8dd11b4fffb0c0830f011521f4.png]

#### 1.1 尝试 ####

//杀怪兽
    public class KillMonsterDemo {
        
    
        /**
         * @param N 怪兽初始血量
         * @param M 每次打击伤害范围[0, M]
         * @param K 剩余打击次数
         * @return
         */
        public static double right(int N, int M, int K) {
        
            if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
        
                return 0;
            }
            long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
            long kill = process(K, M, N);
            return (double) ((double) kill / (double) all);
        }
    
        //怪兽还剩hp点血
        //每次的伤害在[0~M]范围上
        //还有times次数可以砍
        //返回砍死的情况数
        public static long process(int times, int M, int hp){
        
            if(times == 0){
        
                //<0 ： 鞭尸
                return hp <= 0 ? 1 : 0;
            }
            if(hp <= 0){
        
                return (long)(Math.pow(M+1, times));
            }
            long ways = 0;
            for(int i = 0; i <= M; i++){
        
                ways += process(times - 1, M, hp - i);
            }
            return ways;
        }
    }

#### 1.2 动态规划 ####

//递归直接转动态规划
    /**
     * @param N 怪兽初始血量
     * @param M 每次打击伤害范围[0, M]
     * @param K 剩余打击次数
     * @return
     */
    public static double dp1(int N, int M, int K) {
        
        if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
        
            return 0;
        }
        long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
        long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
        dp[0][0] = 1;
        for (int times = 1; times <= K; times++) {
        
            //怪兽血量为0时
            dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times);
            for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
        
                long ways = 0;
                for (int i = 0; i <= M; i++) {
        
                    if (hp - i >= 0) {
        
                        ways += dp[times - 1][hp - i];
                    } else {
        
                        //怪兽血量小于0，鞭尸
                        //此次砍了之后剩下次数times-1次
                        ways += (long) Math.pow(M + 1, times - 1);
                    }
                }
                dp[times][hp] = ways;
            }
        }
        long kill = dp[K][N];
        return (double) ((double) kill / (double) all);
    }

#### 1.3 动态规划2（斜率优化） ####

//优化版：动态规划
    
    /**
     * @param N 怪兽初始血量
     * @param M 每次打击伤害范围[0, M]
     * @param K 剩余打击次数
     * @return
     */
    public static double dp2(int N, int M, int K) {
        
        if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
        
            return 0;
        }
        long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
        long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
        dp[0][0] = 1;
        for (int times = 1; times <= K; times++) {
        
            dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times);
            for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
        
                //多算了
                dp[times][hp] = dp[times][hp - 1] + dp[times - 1][hp];
                if (hp - 1 - M >= 0) {
        
                	//多加的
                    dp[times][hp] -= dp[times - 1][hp - 1 - M];
                } else {
        
                	//虽然矩阵中没有该范围，但是还是应该根据公式减去
                    dp[times][hp] -= Math.pow(M + 1, times - 1);
                }
            }
        }
        long kill = dp[K][N];
        return (double) ((double) kill / (double) all);
    }

### 2 货币问题 ###

![在这里插入图片描述][aa2e7ca38dd74e95a8981ebfc7d3b84d.png]

#### 2.1 尝试 ####

public static int minCoins(int[] arr, int aim) {
        
        return process(arr, 0, aim);
    }
    
    // arr[index...]面值，每种面值张数自由选择，
    // 搞出rest正好这么多钱，返回最小张数
    // 拿Integer.MAX_VALUE标记怎么都搞定不了
    public static int process(int[] arr, int index, int rest) {
        
        if (index == arr.length) {
        
            //rest为0，此时不用钱了
            return rest == 0 ? 0 : Integer.MAX_VALUE;
        } else {
        
            int ans = Integer.MAX_VALUE;
            for (int zhang = 0; zhang * arr[index] <= rest; zhang++) {
        
            	//选择zhang这么多纸币时，完成rest - zhang * arr[index]需要next张
                int next = process(arr, index + 1, rest - zhang * arr[index]);
                if (next != Integer.MAX_VALUE) {
        
                    ans = Math.min(ans, zhang + next);
                }
            }
            return ans;
        }
    }

#### 2.2 动态规划 ####

public static int dp1(int[] arr, int aim) {
        
        if (aim == 0) {
        
            return 0;
        }
        int N = arr.length;
        //行：index位置
        //列：rest
        int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
        dp[N][0] = 0;
        //当前已经走到了arr末尾，rest的值不为0->失败：用Integer.MAX_VALUE表示
        for (int j = 1; j <= aim; j++) {
        
            dp[N][j] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {
        
            for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {
        
                int ans = Integer.MAX_VALUE;
                for (int zhang = 0; zhang * arr[index] <= rest; zhang++) {
        
                    int next = dp[index + 1][rest - zhang * arr[index]];
                    if (next != Integer.MAX_VALUE) {
        
                        ans = Math.min(ans, zhang + next);
                    }
                }
                dp[index][rest] = ans;
            }
        }
        return dp[0][aim];
    }

#### 2.3 动态规划2（斜率优化） ####

//斜率优化
    public static int dp2(int[] arr, int aim) {
        
        if (aim == 0) {
        
            return 0;
        }
        int N = arr.length;
        int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
        dp[N][0] = 0;
        for (int j = 1; j <= aim; j++) {
        
            dp[N][j] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {
        
            for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {
        
                dp[index][rest] = dp[index + 1][rest];
                //判断之前有没有更小的值
                if (rest - arr[index] >= 0
                        && dp[index][rest - arr[index]] != Integer.MAX_VALUE) {
        
                    dp[index][rest] = Math.min(dp[index][rest], dp[index][rest - arr[index]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[0][aim];
    }

### 3 分裂数问题 ###

给定一个正数n，求n的裂开方法数，  
规定：后面的数不能比前面的数小  
比如4的裂开方法有：  
1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2、4  
5种，所以返回5

#### 3.1 尝试 ####

//n为正数
    public static int ways(int n) {
        
        if (n < 0) {
        
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
        
            return 1;
        }
        //表明前一个数是1，此时的数为n，等着分裂
        return process(1, n);
    }
    
    //上一个拆出来的数是pre
    //还剩rest需要拆
    //返回拆解的方法数
    public static int process(int pre, int rest) {
        
        if (rest == 0) {
        
            return 1;
        }
        if (pre > rest) {
        
            return 0;
        }
        int ways = 0;
        for (int first = pre; first <= rest; first++) {
        
            ways += process(first, rest - first);
        }
        return ways;
    }

#### 3.2 动态规划 ####

public static int dp1(int n) {
        
        if (n < 0) {
        
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
        
            return 1;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int pre = 1; pre <= n; pre++) {
        
            // pre rest = 0
            // pre rest = pre
            dp[pre][0] = 1;
            dp[pre][pre] = 1;
        }
        for (int pre = n - 1; pre >= 1; pre--) {
        
            for (int rest = pre + 1; rest <= n; rest++) {
        
                int ways = 0;
                for (int first = pre; first <= rest; first++) {
        
                    ways += dp[first][rest - first];
                }
                dp[pre][rest] = ways;
            }
        }
        return dp[1][n];
    }

#### 3.3 动态规划2（斜率优化，画表格，找依赖） ####

//画图：一目了然
    public static int dp2(int n) {
        
        if (n < 0) {
        
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
        
            return 1;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int pre = 1; pre <= n; pre++) {
        
            dp[pre][0] = 1;
            dp[pre][pre] = 1;
        }
        for (int pre = n - 1; pre >= 1; pre--) {
        
            for (int rest = pre + 1; rest <= n; rest++) {
        
                dp[pre][rest] = dp[pre + 1][rest];
                dp[pre][rest] += dp[pre][rest - pre];
            }
        }
        return dp[1][n];
    }

[64870f8dd11b4fffb0c0830f011521f4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/06/05373d783196403cac2bcc8efb4b13b1.png
[aa2e7ca38dd74e95a8981ebfc7d3b84d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/06/8b5d6584862f40ca89a30ffb393095ee.png